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Calcolo delle derivate: la guida pratica

Calcolo delle derivate

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Se vuoi chiarire i tuoi dubbi sul calcolo delle derivate, questo articolo è quello che cercavi.
Esso si propone come una guida pratica al calcolo delle derivate, attraverso esempi e soluzioni spiegate passo dopo passo. Il focus è posto sull’applicazione delle regole e tecniche di derivazione, mettendo in secondo piano le questioni di derivabilità, rispondendo alle seguenti domande:

  • Quali sono le regole di derivazione principali?
  • Come si effettua la derivata di funzioni composte e dei valori assoluti?

Questo punto di vista fornisce una manualità preziosa nello studio di funzioni e nella risoluzione di integrali, fornendo una risorsa concreta per l’applicazione pratica delle derivate in vari contesti matematici.

Oltre all’articolo completo sulla Teoria sulle derivate segnaliamo i seguenti articoli sulla teoria correlata:

Di seguito, invece, le raccolte di esercizi su questo tema:

Buona lettura!

 
 

Sommario

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Questo elaborato si propone come una guida pratica al calcolo formale delle derivate, attraverso esempi e soluzioni passo dopo passo. In questo contesto, non ci focalizzeremo sui problemi relativi alla derivabilità delle funzioni, ma piuttosto sull’applicazione diretta delle regole e delle tecniche di derivazione. Questo approccio sarà particolarmente utile per lo studio di funzioni e per la risoluzione di integrali, fornendo una risorsa concreta per l’applicazione pratica delle derivate in vari contesti matematici.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Francesco Tamberi

Revisori: Matteo Talluri.


 
 

Richiami sulle derivate

Introduzione.

Partiamo dal riportare la definizione di derivata:

\[\quad\]

Definizione. Sia f: A \to \mathbb{R}. Dato x_{0} \in A un suo punto di accumulazione, si dice che f è derivabile in x_{0} se esiste ed è finito il seguente limite:

(1) \begin{equation*} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}. \end{equation*}

Se tale limite esiste finito si indica con f'(x_{0}) e viene detto derivata di f in x_{0} e rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto \left(x_0,f(x_0)\right).

\[\quad\]

Per trovare la derivata di una funzione, è possibile utilizzare la definizione classica, calcolando il limite del rapporto incrementale. Tuttavia, questo metodo può risultare complesso in alcuni casi. Per semplificare il processo, si adottano tecniche di derivazione alternative: queste consistono nello scomporre la funzione in componenti più semplici, le cui derivate sono già note, e poi ricombinarle per ottenere la derivata della funzione originale. Questo approccio rende il calcolo delle derivate più accessibile e gestibile.


Derivate Notevoli.

Le tecniche seguenti si fondano sull’idea di “riscrivere” la funzione da analizzare come la combinazione (somma o prodotto) di più funzioni, le cui derivate sono già note. Per facilitare questo processo, ecco un elenco di alcune derivate fondamentali, ottenute applicando la definizione di derivata, che possono essere utili per calcolare la derivata di funzioni più complesse. Questo approccio permette di semplificare significativamente il calcolo delle derivate, rendendo più gestibili anche le funzioni apparentemente complicate.

\[\quad\]

Derivate notevoli

(2) \begin{equation*}& f(x)=k,\;k\in\mathbb{R} & \qquad &f^\prime(x)=0\\[0.2em]\end{equation*}

(3) \begin{equation*}& f(x)=x & \qquad &f^\prime(x)=1\\[0.2em]\end{equation*}

(4) \begin{equation*}& f(x)=x^\alpha,\,\alpha \in \mathbb{R} & \qquad &f'(x)=\alpha\,x^{\alpha-1}\\[0.2em]\end{equation*}

(5) \begin{equation*}& f(x)=\sqrt{x} & \qquad &f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\[0.2em]\end{equation*}

(6) \begin{equation*}& f(x)=e^x & \qquad &f'(x)=e^x\\[0.2em]\end{equation*}

(7) \begin{equation*}& f(x)=a^x,\,a>0,\,a\neq 1 & \qquad &f'(x)=a^x\ln(a)\\[0.2em]\end{equation*}

(8) \begin{equation*}& f(x)=\ln(x) & \qquad &f'(x)=\dfrac{1}{x}\\[0.2em]\end{equation*}

(9) \begin{equation*}& f(x)=\log_a(x),\,a>0,\,a\neq 1 & \qquad &f'(x)=\dfrac{1}{x}\log_a(e)\\[0.2em]\end{equation*}

(10) \begin{equation*}& f(x)=\sin(x) & \qquad &f'(x)=\cos(x)\\[0.2em]\end{equation*}

(11) \begin{equation*}& f(x)=\cos(x) & \qquad &f'(x)=-\sin(x)\\[0.2em]\end{equation*}

(12) \begin{equation*}& f(x)=\tan(x) & \qquad &f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\\[0.2em]\end{equation*}

(13) \begin{equation*}& f(x)=\cot(x) & \qquad &f'(x)=-\dfrac{1}{\sin^2(x)}\\[0.2em]\end{equation*}

(14) \begin{equation*}& f(x)=\arcsin(x) & \qquad &f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[0.2em]\end{equation*}

(15) \begin{equation*}& f(x)=\arccos(x) & \qquad &f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\[0.2em]\end{equation*}

(16) \begin{equation*}& f(x)=\arctan(x) & \qquad &f'(x)=\frac{1}{1+x^2}.\end{equation*}

\[\quad\]


Teoremi Principali.

Nella sezione precedente abbiamo illustrato le derivate fondamentali più comuni. Ora, ci concentreremo sui teoremi che ci aiuteranno a rielaborare tali funzioni per calcolarne la derivata quando presentano una struttura più complessa. Questo processo implica riscrivere le funzioni più elaborate come combinazioni (sommatoria o prodotto) di funzioni più semplici, le cui derivate sono già note. Questo approccio ci permetterà di affrontare con maggiore facilità il calcolo delle derivate di funzioni complesse, riducendole a elementi più gestibili.

Teorema 1 (derivata della somma). Siano f e g due funzioni derivabili, allora la somma f(x)+g(x) è derivabile e si ha

(17) \begin{equation*} \left[f(x)+g(x)\right]'=f'(x)+g'(x). \end{equation*}

\[\quad\]

Teorema 2 (derivata del prodotto per costante). Sia f una funzione derivabile e sia k\in\mathbb{R}, allora il prodotto k\cdot f(x) è derivabile e si ha

(18) \begin{equation*} \left[k\cdot f(x)\right]'=k\cdot f'(x). \end{equation*}

\[\quad\]

Teorema 3 (derivata del prodotto). Siano f e g due funzioni derivabili, allora il prodotto f(x)\cdot g(x) è derivabile e si ha

(19) \begin{equation*} \left[f(x)\cdot g(x)\right]'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x). \end{equation*}

\[\quad\]

Teorema 4 (derivata del rapporto). Siano f e g due funzioni derivabili con g(x)\neq0, allora il rapporto \dfrac{f(x)}{g(x)} è derivabile e si ha

(20) \begin{equation*} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}. \end{equation*}

\[\quad\]

Teorema 5 (derivata della composizione). Siano f e g due funzioni derivabili, allora la composizione h(x)=\left(f\circ g\right)(x)=f(g(x)) è derivabile e si ha

(21) \begin{equation*} h'(x)=\left[f(g(x))\right]'=f'(g(x))\cdot g'(x). \end{equation*}

\[\quad\]

Teorema 6 (derivata di potenza di funzione). Siano f e g due funzioni derivabili, allora la potenza h(x)=f(x)^{g(x)} è derivabile e si ha

(22) \begin{equation*} h'(x)=\left[f(x)^{g(x)}\right]'=f(x)^{g(x)}\left[g^\prime(x)\ln f(x)+g(x)\dfrac{f^\prime(x)}{f(x)}\right]\quad \text{con}\,\,f(x)>0. \end{equation*}

\[\quad\]

Osservazione 1. Il teorema di derivazione del rapporto si può dedurre molto facilmente dal teorema del prodotto.

Infatti si ha che:

\[\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}=f(x)\cdot h(x)\]

dove h(x)=\dfrac{1}{g(x)}.

Applicando (19) otteniamo:

\[[f(x)\cdot h(x)]'=f'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot h'(x).\]

Ora calcoliamo h'(x); notiamo che h(x) è una composizione di funzioni, infatti chiamate p(y)=\dfrac{1}{y} e y=g(x) si ha

\[h(x)=\frac{1}{g(x)}=p(g(x))\]

quindi applicando (21) si ottiene

\[h'(x)=\left[p(g(x))\right]'=p'(g(x))\cdot g'(x).\]

Adesso calcoliamo p'(y) applicando (4)

\[p'(y)=\left[\frac{1}{y}\right]'=\left[y^{-1}\right]'=(-1)\cdot y^{-2}=-\frac{1}{y^2}\]

Sfruttando quanto ottenuto abbiamo

\[\begin{aligned} [f(x)\cdot h(x)]'&=f'(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot h'(x)=\\ &=f'(x)\cdot \dfrac{1}{g(x)}+f(x)\cdot p'(g(x))\cdot g'(x)=\\ &=\dfrac{f'(x)}{g(x)}+f(x)\cdot \left(-\frac{1}{g^2(x)}\right)\cdot g'(x)=\\ &=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}=\\ &=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}. \end{aligned}\]


 

Focus su moduli e composizioni

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