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Funzioni goniometriche: la guida essenziale

Funzioni elementari, Ripasso di Goniometria e Trigonometria – Formule ed esercizi risolti, Teoria sulle Funzioni: Concetti Fondamentali e Proprietà

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Benvenuti alla nostra guida essenziale sul mondo delle funzioni goniometriche e delle loro inverse! Questo articolo è il punto di partenza perfetto per chiunque desideri una comprensione chiara e diretta delle basi della goniometria. Concentrandoci sulle rappresentazioni grafiche e sulle intuizioni visive, ti offriamo una panoramica coinvolgente e facilmente comprensibile delle funzioni seno, coseno, tangente e cotangente, e delle loro controparti inverse. Se stai cercando un approccio semplificato, ma efficace, per navigare attraverso questi concetti fondamentali della matematica, sei nel posto giusto!

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Buona lettura!

 
 

 

Sommario

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Questo articolo è una guida concisa sulle definizioni e le proprietà fondamentali delle funzioni goniometriche e delle loro funzioni inverse, che vengono presentate enfatizzando le spiegazioni intuitive e le rappresentazioni grafiche che sostengono la teoria.  

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.  

Revisori: Valerio Brunetti, Sara Sottile.  

 

Notazioni

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\mathbb{Z} Insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{R} Insieme dei numeri reali;
f \colon A \to B Funzione dall’insieme A all’insieme B;
\operatorname{Im} f Immagine della funzione f;
\lim_{t \to t_0} Limite della funzione f nel punto t_0.

\[\,\]

\[\quad\]

 

Introduzione

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Le funzioni goniometriche derivano dalle relazioni tra le misure degli angoli e le lunghezze dei segmenti a essi correlati; la goniometria si dedica infatti allo studio di queste relazioni e alla loro applicazione nella risoluzione di problemi geometrici. Questo testo mira a fornire un riassunto delle definizioni e proprietà di tali funzioni, con un focus sulle spiegazioni grafiche, talvolta tralasciando dimostrazioni formali a favore di intuizioni visive.

Il contenuto è suddiviso in due parti principali:  

  • Nella sezione 1, si introduce la circonferenza goniometrica e la misura in radianti degli angoli e si presentano le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente. Tali funzioni associano a un arco alcune quantità geometriche a esso associate.
  • Nella sezione 2, osserviamo che opportune restrizioni delle suddette funzioni sono invertibili; le loro inverse, dette arcoseno, arcoseno, arcotangente e arcocotangente, associano alle quantità geometriche sopra definite l’arco da cui esse derivano.

 

Funzioni goniometriche

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La goniometria studia oggetti definiti sulla circonferenza goniometrica, ovvero la circonferenza di centro l’origine e raggio 1 nel piano cartesiano, rappresentata in figura 1.

   

funzioni goniometriche  

Figura 1: circonferenza goniometrica e corrispondenza biunivoca tra archi e angoli al centro.

Dato un numero reale t, l’arco orientato AP(t) è l’arco di lunghezza t ottenuto percorrendo la circonferenza goniometrica dal punto A=(1,0) in senso antiorario se t>0 e orario se t<0. Ciò determina una corrispondenza biunivoca tra la misura dell’arco orientato AP(t) e l’angolo al centro \theta di cui si è ruotato il segmento OA per ottenere il segmento OP(t).

In virtù di tale corrispondenza, un angolo è identificato con la lunghezza orientata dell’arco corrispondente sulla circonferenza goniometrica, che viene detta misura in radianti dell’angolo.

La posizione del punto P(t) sulla circonferenza goniometrica genera altre quantità geometriche, che sono funzioni dell’arco t e sono note come funzioni goniometriche.

   

Funzioni coseno e seno.

   

 

Figura 2: funzioni coseno e seno dell’arco t, pari rispettivamente all’ascissa e all’ordinata del punto P(t) determinato, sulla circonferenza goniometrica, dall’arco t.

   

Consideriamo l’arco t rappresentato in figura 2 e consideriamo il punto P(t) individuato dall’estremo mobile dell’angolo. Le sue coordinate cartesiane definiscono le funzioni coseno e seno di t, cioè

\[\boxcolorato{analisi}{\begin{cases} \cos t \coloneqq P_x(t) \\[6pt] \sin t \coloneqq P_y(t). \end{cases}}\]

Poiché il triangolo OHP è rettangolo in H e le lunghezze dei segmenti OH e PH sono pari rispettivamente a |\cos t| e |\sin t|, per il teorema di Pitagora si ottiene la relazione fondamentale:

\[\big(\overline{OH}\big)^2 + \big(\overline{PH}\big)^2 = \big(\overline{OP}\big)^2 = 1\]

da cui

(1) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\cos^2 t + \sin^2 t = 1 \qquad \forall t \in \mathbb{R}.}\end{equation*}

Tale relazione è una scrittura dell’equazione della circonferenza di centro l’origine e raggio unitario.

Le funzioni reali \cos e \sin che a ogni arco t \in \mathbb{R} associano il suo coseno e il suo seno hanno come dominio l’insieme \mathbb{R} dei numeri reali:

\[\boxcolorato{analisi}{\cos \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},}\]

\[\boxcolorato{analisi}{\sin \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}.}\]

L’argomento t delle funzioni seno e coseno può essere dunque ogni numero reale; in altri termini risultano ben definiti coseno e seno di qualunque arco sulla circonferenza goniometrica.

Il punto P(t) appartiene alla circonferenza goniometrica, il che implica che le sue coordinate cartesiane appartengono all’intervallo [-1, 1]. Inoltre, per ogni valore x_0 nell’intervallo [-1, 1], esiste un corrispondente t \in \mathbb{R} tale che \cos t = x_0. Un tale t può essere ottenuto dall’intersezione tra circonferenza goniometrica con la retta di equazione x = x_0, come mostrato nella parte sinistra della figura 3. Pertanto, l’immagine della funzione coseno coincide con [-1,1]:

\[\boxcolorato{analisi}{\operatorname{Im} \cos = [-1,1].}\]

In altre parole, la funzione coseno assume ogni valore tra -1 e 1.

   

funzioni goniometriche  

Figura 3: le immagini della funzione coseno (a sinistra) e della funzione seno (a destra) sono pari a [-1,1].

   

Analogamente, per ogni y_0 \in [-1,1], esiste t \in \mathbb{R} tale che \sin t=y_0, figura 3 a destra. Quindi

\[\boxcolorato{analisi}{\operatorname{Im} \sin = [-1,1].}\]

Anche la funzione seno assume ogni valore compreso tra -1 e 1. In particolare, il seno e il coseno sono funzioni limitate.

Dato t \in \mathbb{R}, aggiungere multipli interi di 2\pi equivale a compiere giri completi sulla circonferenza goniometrica e tale processo non altera le coordinate del punto P(t). Conseguentemente

\[\boxcolorato{analisi}{\cos(t + 2k\pi) = \cos t, \quad \sin(t + 2k\pi) = \sin t \qquad \forall t \in \mathbb{R},\,\,\forall k \in \mathbb{Z}.}\]

Le funzioni \cos e \sin sono dunque periodiche di periodo minimo T=2\pi, si veda [3, Definizione 2.53].

I loro grafici sono rappresentati in figura 4.

   

 

Figura 4: grafici delle funzioni \cos e \sin, in cui si nota la loro periodicità.

   

Dai grafici si vede che il coseno è una funzione pari, mentre il seno è una funzione dispari,1 cioè

\[\boxcolorato{analisi}{\cos(-t) = \cos t \quad \sin(-t) = - \sin t \qquad \forall t \in \mathbb{R}.}\]

Inoltre vale

\[\boxcolorato{analisi}{\sin(t) = \cos \left (t - \frac{\pi}{2} \right ), \quad \cos(t) = \sin \left (t + \frac{\pi}{2} \right ) \qquad \forall t \in \mathbb{R}.}\]

Come tutte le funzioni periodiche non costanti, si ha che i limiti

(2) \begin{equation*}\boxcolorato{analisi}{\lim_{t \to +\infty} \cos t \quad \text{e} \quad \lim_{t \to +\infty} \sin t \qquad \text{non esistono.}}\end{equation*}

Ciò può essere mostrato rigorosamente mediante la definizione [1, Esercizio 10] oppure utilizzando il teorema ponte [2, Esempio 3.4], che lega limiti di funzioni e limiti di successioni.

   

\[\]

  1. per approfondimenti sulle simmetrie delle funzioni, si veda [3, sezione 2.3] ↩

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