Figura 2: funzioni coseno e seno dell’arco , pari rispettivamente all’ascissa e all’ordinata del punto determinato, sulla circonferenza goniometrica, dall’arco .
Consideriamo l’arco rappresentato in figura 2 e consideriamo il punto individuato dall’estremo mobile dell’angolo. Le sue coordinate cartesiane definiscono le funzioni coseno e seno di , cioè
Poiché il triangolo è rettangolo in e le lunghezze dei segmenti e sono pari rispettivamente a e , per il teorema di Pitagora si ottiene la relazione fondamentale:
da cui
(1)
Tale relazione è una scrittura dell’equazione della circonferenza di centro l’origine e raggio unitario.
Le funzioni reali e che a ogni arco associano il suo coseno e il suo seno hanno come dominio l’insieme dei numeri reali:
L’argomento delle funzioni seno e coseno può essere dunque ogni numero reale; in altri termini risultano ben definiti coseno e seno di qualunque arco sulla circonferenza goniometrica.
Il punto appartiene alla circonferenza goniometrica, il che implica che le sue coordinate cartesiane appartengono all’intervallo . Inoltre, per ogni valore nell’intervallo , esiste un corrispondente tale che . Un tale può essere ottenuto dall’intersezione tra circonferenza goniometrica con la retta di equazione , come mostrato nella parte sinistra della figura 3. Pertanto, l’immagine della funzione coseno coincide con :
In altre parole, la funzione coseno assume ogni valore tra e .
Figura 3: le immagini della funzione coseno (a sinistra) e della funzione seno (a destra) sono pari a .
Analogamente, per ogni , esiste tale che , figura 3 a destra. Quindi
Anche la funzione seno assume ogni valore compreso tra e . In particolare, il seno e il coseno sono funzioni limitate.
Dato , aggiungere multipli interi di equivale a compiere giri completi sulla circonferenza goniometrica e tale processo non altera le coordinate del punto . Conseguentemente
Le funzioni e sono dunque periodiche di periodo minimo , si veda [, Definizione 2.53].
I loro grafici sono rappresentati in figura 4.
Figura 4: grafici delle funzioni e , in cui si nota la loro periodicità.
Dai grafici si vede che il coseno è una funzione pari, mentre il seno è una funzione dispari, cioè
Inoltre vale
Come tutte le funzioni periodiche non costanti, si ha che i limiti
(2)
Ciò può essere mostrato rigorosamente mediante la definizione [, Esercizio 10] oppure utilizzando il teorema ponte [, Esempio 3.4], che lega limiti di funzioni e limiti di successioni.