Svolgimento. Possiamo riscrivere (1) come segue
Posto, per ,
e
ed utilizzando la regola della catena [1] abbiamo
Quindi:
cioè
(2)
Scrivendo l’equazione omogenea associata a (2) otteniamo:
Ora abbiamo tre casi a seconda del segno di .
Se :
Se :
Se :
dove , ovvero
Riepilogando:
L’equazione di Eulero di secondo grado
ammette le seguenti soluzioni al variare del segno di :
{\tiny{}} se
:
{\tiny{}} se
:
{\tiny{}} se
:
con costanti e dove
e e
.
Osservazione. È altresì possibile, per , porre
giungendo analogamente a (2).
1. La regola della catena permette di derivare una funzione composta di due funzioni derivabili.
Regola della catena per la derivata prima e seconda: Siano e
di classe
, allora
Tale regola si generalizza con derivate di qualsiasi ordine per funzioni derivabili almeno fino a tale ordine con la nota formula di Faà di Bruno. ↩