Disuguaglianza triangolare

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Disuguaglianza triangolare. Per ogni $a,b \in \mathbb{R}$ vale la seguente diseguaglianza

(1) $\begin{equation*} \left \vert a+b\right \vert \leq \left \vert a \right \vert + \left \vert b \right \vert . \end{equation*}$

Dimostrazione. Si ricorda che dati due numeri reali $a$ e $b$ vale quanto segue

$-\left \vert a \right \vert \leq a \leq \left \vert a \right \vert \qquad \mbox{e} \qquad -\left \vert b \right \vert \leq b \leq \left \vert b \right \vert .$

Sommando membro a membro le due diseguaglianze si ha

$\begin{equation*} -\left(\left \vert a \right\vert+\left \vert b \right \vert \right)\leq a +b\leq \left \vert a \right \vert +\left \vert b \right\vert \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} a +b\leq \left \vert a \right \vert +\left \vert b \right\vert\\\\ -\left(a+b\right)\leq \left \vert a \right\vert+\left \vert b \right \vert \end{cases} \end{equation*}$

da cui

(2) $\begin{equation*} \max\{a+b,-\left(a+b\right)\}=\left \vert a+b \right \vert \leq \left \vert a\right \vert +\left \vert b \right \vert \end{equation*}$

ovvero l’asserto.

Disuguaglianza triangolare inversa prima versione. Per ogni $a,b \in \mathbb{R}$ vale la seguente diseguaglianza

(3) $\begin{equation*} \left \vert \left \vert a\right \vert-\left \vert b\right \vert \right \vert \leq \left \vert a-b\right \vert . \end{equation*}$

Dimostrazione. Applicando (2) si ottiene

(4) $\begin{equation*} \left \vert a\right \vert=\left \vert a-b+b\right \vert\leq \left \vert a-b\right \vert +\left \vert b \right \vert \quad \Leftrightarrow \quad\left \vert a\right \vert -\left \vert b\right \vert \leq \left \vert a-b\right \vert \end{equation*}$

ed analogamente

(5) $\begin{equation*} \left \vert b\right \vert=\left \vert b-a+a\right \vert\leq \left \vert b-a\right \vert +\left \vert a\right \vert \quad \Leftrightarrow \quad \left \vert b \right \vert -\left \vert a \right \vert \leq \left \vert b-a\right \vert . \end{equation*}$

Confrontando (4) con (5) abbiamo

(6) $\begin{equation*} \max\{\left \vert a\right \vert -\left \vert b\right \vert, \left \vert b \right \vert -\left \vert a \right \vert \}=\left \vert\left \vert a \right \vert -\left \vert b \right \vert \right \vert \leq \left \vert a-b\right \vert , \end{equation*}$

da cui l’asserto.

Disuguaglianza triangolare inversa seconda versione. Per ogni $a,b \in \mathbb{R}$ vale la seguente diseguaglianza

(7) $\begin{equation*} \left \vert \left \vert a\right \vert-\left \vert b\right \vert \right \vert \leq \left \vert a+b\right \vert . \end{equation*}$

Dimostrazione. La dimostrazione di questa diseguaglianza è molto semplice perché (3) implica (7) ; infatti è sufficiente sostituire $-b$ a $b$ ottenendo così l’asserto.

Disuguaglianza triangolare versione finale. Per ogni $a,b \in \mathbb{R}$ vale la seguente diseguaglianza

(8) $\begin{equation*} \left \vert \left \vert a\right \vert-\left \vert b\right \vert \right \vert \leq \left \vert a+b\right \vert \leq \left \vert a \right \vert + \left \vert b \right \vert . \end{equation*}$