Disuguaglianza triangolare

Insiemi numerici N, Z, Q, R

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Introduzione

La disuguaglianza triangolare è una proprietà fondamentale della nozione di \emph{distanza}. Nella formulazione che più chiaramente motiva il suo nome, essa infatti afferma che la lunghezza di un lato di un triangolo è minore o uguale alla somma degli altri due lati.
In altre parole, la distanza da percorrere per spostarsi da un punto x a un punto z non può essere maggiore della somma delle distanze da percorrere per andare prima da x a y e poi da y a z:

(1)   \begin{equation*} \operatorname{dist}(x,z) \leq \operatorname{dist}(x,y) + \operatorname{dist}(y,z). \end{equation*}

Intuitivamente essa vale perché, se nel viaggio per andare da x a z si vuole necessariamente passare per y, allora in generale si percorrerà una distanza maggiore o uguale a quella che si percorrerebbe se la tappa per y non fosse richiesta.

Nel contesto dei numeri reali, tale disuguaglianza può essere tradotta nel seguente modo:

(2)   \begin{equation*} |a\pm b| \leq |a| + |b| \qquad \forall a,b \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Infatti, poiché |a-b| rappresenta la distanza tra i due numeri reali a e b, essa appunto afferma che tale distanza è minore o uguale di |a|+ |b|, che rappresenta la somma delle distanze di a e b dal numero reale 0.

La disuguaglianza triangolare è utilissima in Analisi Matematica e in Geometria, poiché fornisce la migliore stima possibile sulla “taglia” |a+b| della somma di due numeri reali, in base alla somma delle loro “taglie” \left \vert a\right \vert|\, \text{e}\, \left \vert b\right\vert.
Essa trova quindi applicazione in ogni teorema in cui simili stime siano utili: come esempi citiamo il teorema di unicità del limite, il teorema sull’algebra dei limiti, il teorema di Heine-Cantor. Inoltre è conseguenza della disuguaglianza triangolare il fatto che le successioni di Cauchy in \mathbb{R} hanno limite, e quindi una forma della importantissima proprietà di completezza di \mathbb{R}.

Esistono poi numerose generalizzazioni della disuguaglianza triangolare: oltre all’estensione alla somma di più numeri reali, esiste la sua versione integrale, oppure la sua generalizzazione alle serie numeriche e di funzioni, che genera fondamentali strumenti come il criterio di convergenza assoluta e di convergenza totale.

Notevoli risultano i suoi utilizzi e le sue estensioni nell’Analisi funzionale e in ogni branca dell’Analisi.

Si potrebbe dire che la disuguaglianza triangolare è forse lo strumento maggiormente utilizzato nell’Analisi Matematica e ci accingiamo pertanto a discuterla in maniera approfondita.

Disuguaglianza triangolare. Per ogni a,b \in \mathbb{R} vale la seguente diseguaglianza

(3)   \begin{equation*} \left \vert a+b\right \vert \leq \left \vert a \right \vert + \left \vert b \right \vert . \end{equation*}

 

Dimostrazione. Si ricorda che dati due numeri reali a e b vale quanto segue

    \[-\left \vert a \right \vert \leq a \leq \left \vert a \right \vert \qquad \mbox{e} \qquad -\left \vert b \right \vert \leq b \leq \left \vert b \right \vert .\]

Sommando membro a membro le due diseguaglianze si ha

    \begin{equation*} -\left(\left \vert a \right\vert+\left \vert b \right \vert \right)\leq a +b\leq \left \vert a \right \vert +\left \vert b \right\vert \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} a +b\leq \left \vert a \right \vert +\left \vert b \right\vert\\\\ -\left(a+b\right)\leq \left \vert a \right\vert+\left \vert b \right \vert \end{cases} \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} \max\{a+b,-\left(a+b\right)\}=\left \vert a+b \right \vert \leq \left \vert a\right \vert +\left \vert b \right \vert \end{equation*}

ovvero l’asserto.

Disuguaglianza triangolare inversa prima versione. Per ogni a,b \in \mathbb{R} vale la seguente diseguaglianza

(5)   \begin{equation*} \left \vert \left \vert a\right \vert-\left \vert b\right \vert \right \vert \leq \left \vert a-b\right \vert . \end{equation*}

 

Dimostrazione.  Applicando (4) si ottiene

(6)   \begin{equation*} \left \vert a\right \vert=\left \vert a-b+b\right \vert\leq \left \vert a-b\right \vert +\left \vert b \right \vert \quad \Leftrightarrow \quad\left \vert a\right \vert -\left \vert b\right \vert \leq \left \vert a-b\right \vert \end{equation*}

ed analogamente

(7)   \begin{equation*} \left \vert b\right \vert=\left \vert b-a+a\right \vert\leq \left \vert b-a\right \vert +\left \vert a\right \vert \quad \Leftrightarrow \quad \left \vert b \right \vert -\left \vert a \right \vert \leq \left \vert b-a\right \vert . \end{equation*}

Confrontando (6) con (7) abbiamo

(8)   \begin{equation*} \max\{\left \vert a\right \vert -\left \vert b\right \vert, \left \vert b \right \vert -\left \vert a \right \vert \}=\left \vert\left \vert a \right \vert -\left \vert b \right \vert \right \vert \leq \left \vert a-b\right \vert , \end{equation*}

da cui l’asserto.

 

Disuguaglianza triangolare inversa seconda versione. Per ogni a,b \in \mathbb{R} vale la seguente diseguaglianza

(9)   \begin{equation*} \left \vert \left \vert a\right \vert-\left \vert b\right \vert \right \vert \leq \left \vert a+b\right \vert . \end{equation*}

 

Dimostrazione. La dimostrazione di questa diseguaglianza è molto semplice perché (5)  implica (9) ; infatti è sufficiente sostituire -b a b ottenendo così l’asserto.

 

 

Disuguaglianza triangolare versione finale. Per ogni a,b \in \mathbb{R} vale la seguente diseguaglianza

(10)   \begin{equation*} \left \vert \left \vert a\right \vert-\left \vert b\right \vert \right \vert \leq \left \vert a+b\right \vert \leq \left \vert a \right \vert + \left \vert b \right \vert . \end{equation*}