Il metodo di bisezione

Data un’equazione nella forma in cui è una funzione continua, il Il teorema di esistenza degli zeri permette di dimostrare l’esistenza di soluzioni in un intervallo , se e hanno segno diverso. Ricavare tali soluzioni in forma esplicita può essere difficile o anche impossibile. In tali casi, è utile determinare un’approssimazione delle soluzioni cercate e una stima dell’errore commesso.

Il metodo di bisezione è uno strumento in tale direzione, permettendo di ottenere tali approssimazioni con una precisione arbitraria, dipendente dal numero di passi che si intende compiere: partendo dall’intervallo iniziale, a ogni passo viene individuata la metà dell’intervallo contenente la soluzione, raddoppiando cioè la precisione sulla sua approssimazione.

Questo articolo espone il metodo in maniera chiara e precisa, mostrando esempi pratici e applicazioni al calcolo numerico. Esso risulta dunque una risorsa preziosa per studenti, appassionati e professionisti del settore. Se desideri intraprendere un intrigante viaggio nel mondo al confine tra la Matematica pura e l’analisi numerica, questo articolo è quello che cercavi!

Consigliamo le seguenti risorse di teoria collegata:

• Funzioni continue – Teoria;
• Il teorema di esistenza degli zeri;
• Il teorema dei valori intermedi;
• Il teorema della permanenza del segno.

Di seguito le raccolte di esercizi su argomenti correlati:

Esercizi sul teorema di esistenza degli zeri – volume 1;
• Esercizi sul teorema di esistenza degli zeri – volume 2;
• Esercizi teorici sulla continuità;
• Esercizi teorici sull’uniforme continuità
• Esercizi sul teorema di Weierstrass.

Il metodo di bisezione: autori e revisori

Introduzione

Metodo di bisezione

Un’idea intuitiva di cosa sia il metodo di bisezione è la seguente: è un metodo iterativo che prevede la costruzione di una successione di intervalli incapsulati che si stringono verso la soluzione. In poche parole, si costruisce una successione di intervalli via via più piccoli ognuno lungo la metà del precedente, tutti contenenti la soluzione; stringendo sempre di più l’intervallo ci si avvicina alla radice dell’equazione e si termina quando la lunghezza dell’-esimo intervallo è sufficientemente piccola.

L’algoritmo generale del metodo di bisezione è descritto di seguito.

Consideriamo una funzione continua nel proprio dominio e valutiamola agli estremi dell’intervallo.

Se la funzione valutata agli estremi ha segno opposto, cioè è tale che , per il teorema degli zeri la funzione ammette almeno una radice reale in quell’intervallo . Supponiamo che l’equazione abbia una sola radice reale nell’intervallo .

Una volta individuato l’intervallo che contiene la soluzione, dobbiamo trovare il punto medio di tale intervallo e considerare quindi gli intervalli

Analogamente a quanto fatto con l’intervallo dobbiamo valutare la funzione agli estremi di entrambi gli intervalli, scegliendo l’intervallo dove la funzione valutata agli estremi abbia segno opposto, quindi se

allora l’intervallo da considerare per il prossimo passo è

altrimenti si considera l’intervallo