Esercizi sul teorema di esistenza degli zeri – volume 2

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Esercizi sul teorema di esistenza degli zeri – volume 2

Benvenuti nel secondo volume di esercizi sul teorema di esistenza degli zeri. In questo articolo presentiamo ulteriori 13 esercizi che forniscono materiale aggiuntivo alla raccolta di esercizi sul teorema di esistenza degli zeri – volume 1 e ne costituiscono il naturale completamento.

Alcuni degli esercizi presentati sono di tipo standard e servono a familiarizzare col risultato e la sua applicazione, mentre altri richiedono ragionamenti più elaborati. Le soluzioni sono tutte completamente riportate e consentono così di confrontare i propri tentativi con quanto proposto dal nostro team. Buona lettura a tutti!

Oltre all’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo, segnaliamo il seguente materiale teorico di riferimento:

Di seguito, inoltre, le raccolte di esercizi su argomenti correlati:

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 26 esercizi sul teorema degli zeri.

Autori e revisori

Mostra autori e revisori.

Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Sara Sottile, Luigi De Masi, Matteo Talluri.

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Richiami teorici

Leggi...

In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le dimostrazioni dei seguenti risultati e per ulteriori approfondimenti si rimanda alla dispensa sulla funzioni continue [1].

Teorema 1 (teorema degli zeri). Sia $f\colon [a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione continua.

Se $f(a)\cdot f(b) < 0$ , allora esiste $x_0\in \left(a,b\right)$ tale che $f(x_0)=0$ .

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Corollario 2 ( [1], corollario 5.6). Siano $f,g \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ due funzioni continue tali che

(1) $\begin{equation*} f(a)>g(a) \qquad \text{e} \qquad f(b) < g(b), \end{equation*}$

oppure

(2) $\begin{equation*} f(a)<g(a) \qquad \text{e} \qquad f(b) > g(b). \end{equation*}$

Allora esiste $x_0 \in (a,b)$ tale che

(3) $\begin{equation*} f(x_0)=g(x_0). \end{equation*}$

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Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 3. Valgono le seguenti proprietà:

Ogni polinomio $P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è una funzione continua, [ 1, proposizione 2.8].

La funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \sin x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua, [ 1, proposizione 2.9].

La funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \cos x$ per $\forall$ è continua, [ 1, proposizione 2.10].

Sia $a > 0$ un numero reale. La funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = a^x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua, [ 1, proposizione 2.12].

Sia $a >0$ un numero reale. La funzione $f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \log_a (x)$ per $x \in (0,+\infty)$ è continua, [ 1, proposizione 5.21].

Sia $n \in \mathbb{N}$ . La funzione $f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty]$ , se $n$ è pari, o la funzione $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , se $n$ è dispari, definita da $f(x)=\sqrt[n]{x}$ è continua, [ 1, proposizione 5.19].

La funzione $f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ definita da $f(x) = \arcsin x$ per $x \in [-1,1]$ è continua, [ 1, proposizione 5.28].

La funzione $f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ definita da $f(x)=\arctan x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua, [ 1, proposizione 5.28].

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Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 4. Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , e siano $f,g \colon A \to \mathbb{R}$ due funzioni continue. Allora

La somma $f + g$ e il prodotto $f g$ sono funzioni continue, [ 1, proposizione 2.13].

Il quoziente $\frac{f}{g}$ è continuo nell’insieme $A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}$ , [ 1, proposizione 2.13].

Siano $f\colon A \to \mathbb{R}$ e $g\colon B \to \mathbb{R}$ funzioni tali che $f(A) \subseteq B$ . Se $f$ è continua in $x_0\in A$ e $g$ è continua in $y_0 \coloneqq f(x_0)\in B$ , allora la funzione composta $g \circ f$ è continua in $x_0$ , [ 1, proposizione 2.15].

Siano $f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funzioni continue con $f>0$ . Allora la funzione $f^g$ è continua, [ 1, proposizione 5.24].

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Richiamiamo inoltre i seguenti risultati che verranno utilizzati nel corso della dispensa.

Teorema 5 (caratterizzazione della continuità per successioni [ 1, teorema 3.3]). Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ e sia $x_0 \in A$ . Allora le due affermazioni seguenti sono equivalenti:

$f$ è continua in $x_0$ ;

per ogni successione $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ a valori in $A$ tale che $x_n \to x_0$ , si ha
(4) $\begin{equation*} \displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0). \end{equation*}$

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Teorema 6 (Weierstrass, [ 1 teorema 5.30]). Siano $a, b \in \mathbb{R}, a \leq b$ e sia $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $[a,b]$ , ovvero esistono $x_m, \, x_M \in A$ tali che

$f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] .$

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Testi degli esercizi

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Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f\colon (-1,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da

$f(x) = -2+x+\log(1+x) \quad \forall x \in (-1,+\infty).$

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Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo $[0,3]$ .

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Svolgimento.

Osserviamo che la funzione $f$ è continua, poiché somma di funzioni continue per le proposizioni 3 e 4. Valutando la funzione agli estremi dell’intervallo $[0,3]$ si ha:

$\begin{aligned} f(0) =& -2+0+\log 1 = -2< 0,\\ f(3) =& -2+3+\log 4 > 0, \end{aligned}$

per cui $f(0) \cdot f(3) < 0$ , dunque le ipotesi del teorema degli zeri 1 sono valide. Allora, per il teorema di esistenza degli zeri, esiste $x_0 \in (0,3)$ tale che

$f(x_0) = 0.$

Il grafico in figura 1 evidenzia lo zero della funzione $f$ .

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Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 1

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Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f\colon (-\infty,0)\cup (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da

$f(x) = -\log |x| \quad \forall x \in(-\infty,0)\cup (0,+\infty) .$

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Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo $[e^{-1},e]$ .

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Svolgimento.

Osserviamo che la funzione $f$ è continua per le proposizioni 3 e 4. Valutando la funzione agli estremi dell’intervallo $[e^{-1},e]$ si ha:

$f(e^{-1})= -\log \left|e^{-1} \right| = 1 >0 \qquad f(e)= - \log |e| = -1 < 0.$

per cui $f(e^{-1}) \cdot f(e) < 0$ , dunque le ipotesi del teorema degli zeri 1 sono valide. Allora, per il teorema di esistenza degli zeri, esiste $x_0 \in [e^{-1},e]$ tale che

$f(x_0) = 0.$

Il grafico in figura 2 evidenzia lo zero della funzione $f$ .

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Figura 2: rappresentazione della funzione dell’esercizio 2

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Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f\colon [-1,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da

$f(x) = \sqrt{x+1} + \sqrt{x+6}-5 \quad \forall x \in [-1,+\infty) .$

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Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo $[-1,5]$ .

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Svolgimento.

Osserviamo che la funzione $f$ è continua per le proposizioni 3 e 4. Valutando la funzione agli estremi dell’intervallo $[-1,5]$ si ha:

$f(-1) = \sqrt{5}-5< 0 \qquad f(5)= \sqrt{6}+\sqrt{11}-5 > 0.$

per cui $f(-1) \cdot f(5) < 0$ , dunque le ipotesi del teorema degli zeri 1 sono valide. Allora, per il teorema di esistenza degli zeri, esiste $x_0 \in [-1,5]$ tale che

$f(x_0) = 0.$

Il grafico in figura 3 evidenzia lo zero della funzione $f$ .

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Figura 3: rappresentazione della funzione dell’esercizio 3

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Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il numero di soluzioni in $(0, +\infty)$ dell’equazione

$\log x = | \sin x|$

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e fornirne una stima.

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Svolgimento.

La richiesta è equivalente a studiare gli zeri della funzione $f\colon (0,+\infty)\to \mathbb{R}$ definita da $f(x)=\log x - |\sin x|$ per $x\in (0,+\infty)$ , che è continua per le proposizioni 3 e 4. Si osserva che per $x \in (0,1]$ , si ha $\log x \leq 0$ e $-|\sin x| < 0$ , quindi $f(x)<0$ .

Studiamo ora $f$ in $\left (1, \frac{\pi}{2} \right ]$ . Si ha

(5) $\begin{equation*} \sin x > \sin 1 > \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \qquad \log x \leq \log \frac{\pi}{2} < \frac{1}{2} \qquad \forall x \in \left (1, \frac{\pi}{2} \right ], \end{equation*}$

da cui segue che $\log x - |\sin x|< 0$ in $\left (1, \frac{\pi}{2} \right ]$ .

Poiché $f(\pi)= \log \pi >0$ , per il teorema degli zeri 1 esiste almeno uno zero $x_0$ di $f$ nell’intervallo $\left (\frac{\pi}{2},\pi \right )$ .

Dato che $|\sin|$ è strettamente decrescente in $\left [\frac{\pi}{2},\pi \right ]$ , e $\log$ è strettamente crescente, $f$ è strettamente crescente in $\left [\frac{\pi}{2},\pi \right ]$ e quindi lo zero di $f$ in questo intervallo è unico.

In $(\pi,+\infty)$ non esistono zeri di $f$ perché $\log x>1$ e quindi $\log x - |\sin x|>0$ .

Dunque esiste un unico zero $x_0$ di $f$ ed esso appartiene a $\left (\frac{\pi}{2},\pi \right )$ . Il grafico in figura 4 evidenzia lo zero della funzione $f$ .

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Figura 4: rappresentazione della funzione dell’esercizio 4

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Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $k \in \mathbb{R}$ e $f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{k}{3}\right\}\to \mathbb{R}$ definita da

$f(x) = \dfrac{kx-2}{3x-k},\qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{k}{3}\right\}.$

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Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo $\left[-1,1\right]$ al variare del parametro $k \in \mathbb{R}$ .

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Svolgimento.

Osserviamo dapprima che per $\frac{k}{3} \in [-1,1] \Leftrightarrow k \in [-3,3]$ , la funzione $f$ non è definita nel punto $\frac{k}{3} \in \left[-1,1\right]$ poiché si annullerebbe il denominatore di $f$ , quindi non possiamo applicare il teorema degli zeri 1 Consideriamo il caso in cui $k \notin [-3,3]$ . In questo caso la funzione $f$ è continua per le proposizioni 3 e 4. Valutiamo la funzione agli estremi di $\left[-1,1\right]$ :

$f(-1) = \dfrac{-k-2}{-3-k}=\dfrac{k+2}{k+3} > 0 ,$

$f(1)= \dfrac{k-2}{3-k}=-\dfrac{k-2}{k-3}< 0,$

dove la seconda disuguaglianza segue dal fato che numeratore e denominatore hanno lo stesso segno sia nel caso $k<-3$ e $k>3$ . Dunque le ipotesi del teorema degli zeri sono soddisfatte ed esiste $x_0 \in (-1,1)$ tale che

$f(x_0) = 0.$

Osserviamo che lo zero della funzione $f$ può essere calcolato esplicitamente ponendo

$kx-2 = 0 \Longleftrightarrow x = \dfrac{2}{k}, \qquad k \neq 0.$

Inoltre, poiché $x\neq \frac{k}{3}$ si deve avere

$\frac{k}{3} \neq \dfrac{2}{k} \Longleftrightarrow k \neq \pm \sqrt{2}.$

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Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $k \in \mathbb{R}$ e $f\colon (k,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da

$f(x) = \log(x-k)-1.$

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Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo $\left[0,e\right]$ al variare del parametro $k \in \mathbb{R}$ .

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Svolgimento.

Osserviamo che se $k\ge 0$ , allora l’intervallo $\left[0,e\right]$ non è incluso interamente nel dominio di $f$ e dunque non possiamo applicare il teorema degli zeri 1. Consideriamo dunque il caso in cui $k < 0$ . Osserviamo che la funzione $f$ è continua in $\left[0,e\right]$ per le proposizioni 3 e 4 e valutiamola agli estremi di tale intervallo.

$\begin{aligned} & f(0) = \log(-k)-1,\\ &f(e)= \log(e-k)-1, \end{aligned}$

da cui si ha

$f(0)>0 \Leftrightarrow \log(-k)>1 \Leftrightarrow-k>e \Leftrightarrow k < - e \qquad \text{e} \qquad f(e) > 0 \Leftrightarrow \log(e-k)>1 \Leftrightarrow e-k>e \Leftrightarrow k <0,$

dunque

Se $k \in (-e,0)$ allora $f(0)<0$ e $f(e)>$ , dunque le ipotesi del teorema sono valide, dunque per il teorema di esistenza degli zeri esiste $x_0 \in \left(0,e\right)$ tale che
$f(x_0) = 0.$
Se $k=-e$ allora $f(0) = 0$ e, poiché $f$ è crescente, tale zero è unico nell’intervallo $[0,e]$ .
Se $k < -e$ le ipotesi del teorema degli zeri non sono soddisfatte. Tuttavia, possiamo escludere l’esistenza di zero nell’intervallo $[0,e]$ poiché $f$ è crescente e $f(0) > 0$ .

Osserviamo che lo zero della funzione $f$ può essere calcolato esplicitamente ponendo

$\log(x-k) =1 \Longleftrightarrow x= e+k, \qquad k > -e.$

Inoltre, poiché $x\in [0,e]$ si deve avere $k \in [-e, 0]$ .

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Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $k \in \mathbb{R}$ e $f\colon (k,+\infty) \to \mathbb{R}$ definita da

$f(x) =\log(x-3).$

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Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo $\left[k,k+3\right]$ al variare del parametro $k \in \mathbb{R}$ .

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Svolgimento.

Osserviamo che il dominio di $f$ è $(3,+\infty )$ ed essa è continua per le proposizioni 3 e 4. Affinché $[k,k+3] \subset (3,+\infty)$ , dobbiamo imporre che $k>3$ La funzione agli estremi di $[k,k+3]$ vale

$\begin{aligned} &f(k) = \log(k-3)\\ & f(k+3)= \log(k) \end{aligned}$

e osserviamo che

$\begin{aligned} & f(k)>0 \Leftrightarrow k-3>1 \Leftrightarrow k>4\\ & f(k+3)>0 \Leftrightarrow k>1 \end{aligned}$

dunque

Se $3 < k< 4$ si ha che: $f(k) \cdot f(k+3) < 0$
Se $k=4$ si ha che: $f(k)\cdot f(k+3)=0$
Se $k > 4$ si ha che: $f(k) \cdot f(k+3) > 0$

per cui, dalle osservazioni fatte, le ipotesi del teorema degli zeri sono soddisfatte se e solo se $k \in (3 ,4)$ .

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Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Data l’equazione nella variabile $x$

(6) $\begin{equation*} e^x = \sin x, \end{equation*}$

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stabilire quante soluzioni reali essa possiede. Determinare inoltre il numero di soluzioni positive.

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Svolgimento.

La funzione $f\colon x \in \mathbb{R} \to e^x \in (0,+\infty)$ (in blu in figura 5) è strettamente crescente, mentre la funzione $g\colon x \in \mathbb{R} \to \sin x \in [-1,1]$ (in rosso in figura 5) è una funzione periodica di periodo $2\pi$ . Inoltre tali funzioni sono continue per la proposizione 3.

Per $x \in [0,+\infty)$ si ha che

$f(x) < g(x),$

poiché $f(0) = 1$ e $f(x)>1$ per ogni $x>0$ , e $g(0) = 0$ e $g(x) \in [-1,1]$ per ogni $x>0$ . Allora in tale intervallo l’equazione non avrà alcuna soluzione. Notiamo inoltre che nell’intervallo $\left[-\frac{\pi}{2},0\right)$ la funzione $f$ è strettamente positiva mentre la funzione $g$ è strettamente negativa, dunque anche in tale intervallo non esistono soluzioni.

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Figura 5: rappresentazione delle funzioni dell’esercizio 8

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Si fissi $k\in \mathbb{N}$ e si consideri l’intervallo $[a_k,b_k]\coloneqq \left[ -\frac{\pi}{2}-(k+1)\pi-,\frac{\pi}{2}-k\pi \right]$ , si ha che

$0 < f(a_k) < 1, \quad 0 < f(b_k) < 1 \qquad \text{e} \qquad \begin{cases*} g(a_k)=1,\quad g(b_k)=-1 & \text{ se $k$ è dispari} ,\\ g(a_k)=-1, \quad g(b_k)=1 & \text{ se $k$ è pari}, \end{cases*}$

da cui, per il corollario 2, segue che esiste

$x_k \in \left[ -\frac{\pi}{2}-(k+1)\pi-,\frac{\pi}{2}-k\pi \right], \qquad \text{tale che} \quad f(x_k) = g(x_k).$

Le soluzioni dell’equazione sono dunque infinite, tutte di segno negativo.

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Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Data l’equazione nella variabile $x$

(7) $\begin{equation*} \arcsin (e^x) = \pi x, \end{equation*}$

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stabilire quante soluzioni reali essa possiede. Determinare inoltre il numero di soluzioni positive.

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Svolgimento.

Poiché la funzione $\arcsin$ è definita in $[-1,1]$ e

(8) $\begin{equation*} -1 \leq -e^{-|x|} < 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

il membro di sinistra $\arcsin(-e^{-|x|})$ è definito per ogni $x \in \mathbb{R}$ e inoltre

(9) $\begin{equation*} -\frac{\pi}{2} \leq \arcsin(-e^{-|x|}) <0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Poiché $\pi x\geq 0$ per $x \geq 0$ , ciò è sufficiente a stabilire che l’equazione non possiede soluzioni positive o nulle. D’altra parte, consideriamo le funzioni $f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definite da

(10) $\begin{equation*} f(x) = \arcsin(-e^{-|x|}), \quad g(x)=\pi x \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

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Figura 6: rappresentazione delle funzioni dell’esercizio 9

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In figura 6 sono rappresentate $f$ , in blu, e $g$ in rosso, rispettivamente. Osserviamo che $f$ è decrescente in $(-\infty,0)$ , mentre $g$ è crescente in tale intervallo, per cui esiste al più una soluzione dell’equazione. Per stabilirne l’esistenza, notiamo che $f$ e $g$ sono continue per le proposizioni 3 e 4 e

(11) $\begin{equation*} f(0)=-\frac{\pi}{2} < 0 =g(0), \qquad f(-1)= \arcsin(-e^{-1}) > -\pi = g(-1). \end{equation*}$

Per il corollario 2 esiste una soluzione dell’equazione $f(x)=g(x)$ nell’intervallo $(-1,0)$ , che è unica.

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Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f \colon (a,b) \to \mathbb{R}$ una funzione continua tale che

(12) $\begin{equation*} \lim_{x \to a} f(x) = \ell_a, \qquad \lim_{x \to b} f(x) = \ell_b, \end{equation*}$

con $\ell_a, \ell_b \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$ .

Dimostrare che, se $\ell_a \cdot \ell_b <0$ ,¹ allora $f$ possiede uno zero in $(a,b)$ .

Se $\ell_a=0$ o $\ell_b=0$ , si può affermare che $f$ possiede uno zero in $(a,b)$ ?

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dove la scrittura $\ell_a \cdot \ell_b$ abbia senso. ↩

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Svolgimento punto 1.

Studiamo separatamente i due punti. Se $\ell_a \cdot \ell_b<0$ , allora $\ell_a$ e $\ell_b$ sono entrambi non nulli e hanno segno discorde, quindi assumiamo senza perdita di generalità che $\ell_a <0$ e $\ell_b >0$ . Per definizione di limite, esistono $a',b' \in (a,b)$ con $a<b$ tali che

(13) $\begin{equation*} f(a') <0, \qquad f(b')>0, \end{equation*}$

quindi la conclusione segue applicando il teorema degli zeri a $f$ nell’intervallo $(a',b')$ .

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Svolgimento punto 2.

No: considerare la funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(14) $\begin{equation*} f(x)=e^{-x^2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Si ha $\ell_{-\infty}= \ell_{+\infty}=0$ , ma $f(x)>0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ .

Tale situazione è possibile anche in un intervallo limitato: si definisca $f \colon \left (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right ) \to \mathbb{R}$ come

(15) $\begin{equation*} f(x)=e^{- \tan^2 x} \qquad \forall x \in \left (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right ). \end{equation*}$

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Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione continua tale che

(16) $\begin{equation*} 4\left (f(x)\right )^4 - 12 \left (f(x)\right )^2 + 9 > 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} \end{equation*}$

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e supponiamo che esista $x_1 \in \mathbb{R}$ tale che $f(x_1)=0$ . Dimostrare che $f$ è limitata.

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Svolgimento.

La condizione (16) è equivalente a

(17) $\begin{equation*} \big( 2 f^2(x) - 3 \big)^2 > 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

che implica che $2 f^2(x) - 3 \neq 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ . Definendo la funzione $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ come

(18) $\begin{equation*} g(x)= 2 f^2(x) - 3 \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}$

$g$ è continua per la proposizione 4 perché somma e prodotto di funzioni continue e si ha quindi che $g$ non possiede zeri. Poiché $f(x_1)=0$ , si ha

(19) $\begin{equation*} g(x_1)= f^2(x_1)-3 = -3 <0. \end{equation*}$

Se $f$ non fosse limitata, esisterebbe $x_2 \in \mathbb{R}$ tale che $f^2(x_2)>3$ , ovvero $g(x_2)>0$ . Applicando il teorema degli zeri a $g$ nell’intervallo $[x_1,x_2]$ o $[x_2,x_1]$ a seconda dell’ordine tra $x_1,x_2$ , esisterebbe $x_0 \in \mathbb{R}$ tale che $g(x_0)=0$ , cioè tale che

(20) $\begin{equation*} 4f^4(x) - 12 f^2(x) + 9 = \big( 2 f^2(x) - 3 \big)^2 = g^2(x_0) = 0, \end{equation*}$

che contraddice (16).

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Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Data l’equazione in $x$

(21) $\begin{equation*} \arctan|x^4-1| = c, \end{equation*}$

dove $c \in \mathbb{R}$ è un parametro fissato:

stabilire per quali $c \in \mathbb{R}$ essa possiede un numero dispari di soluzioni e determinarne il numero;

mostrare che per $c \in \left ( 0,\frac{\pi}{4}\right )$ l’equazione possiede esattamente 4 soluzioni;

con ragionamenti simili determinare il numero di soluzioni per ogni $c \in \mathbb{R}$ .

Premessa.

Il problema è equivalente a studiare il numero di zeri della funzione $f_c \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da

(22) $\begin{equation*} f_c(x) = \arctan|x^4-1| - c \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

al variare del parametro $c \in \mathbb{R}$ . Si osservi che $f$ è continua per le proposizioni 3 e 4.

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Svolgimento punto 1.

$f_c$ è pari, quindi se $x$ è una soluzione di $f_c(x)=0$ , anche $f_c(-x)=0$ . Il numero di soluzioni di $f_c(x)=0$ è quindi dispari se e solo se anche $0$ è una soluzione, cioè se e solo se

(23) $\begin{equation*} \arctan|0^4 - 1| = c \iff c = \frac{\pi}{4}. \end{equation*}$

Per $c= \frac{\pi}{4}$ si ha

(24) $\begin{equation*} f_{\frac{\pi}{4}}(x)=0 \iff \arctan|x^4-1| - \frac{\pi}{4} = 0 \iff |x^4-1| = \tan \frac{\pi}{4} = 1 \iff x \in \{-\sqrt[4]{2}, 0, \sqrt[4]{2} \}. \end{equation*}$

Quindi l’unico valore di $c$ per cui l’equazione possiede un numero dispari di soluzioni è $c= \frac{\pi}{4}$ e tale numero è pari a $3$ .

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Svolgimento punto 2.

Fissiamo $c \in \left ( 0,\frac{\pi}{4}\right )$ . La funzione $g \colon x \mapsto |x^4-1|$ è decrescente in $(-\infty,-1]$ , crescente in $[-1,0]$ e analogamente per parità è decrescente in $[0,1]$ e crescente in $[1,+\infty)$ . Poiché $f_c= (\arctan \circ g) - c$ e $\arctan$ è strettamente crescente, $f_c$ ha la stessa monotonia di $g$ .

$\,$

Figura 7: la funzione $f_c$ dell’esercizio 12 per un valore di $c \in \left ( 0,\frac{\pi}{4}\right )$ . Si vede che essa possiede $4$ zeri.

$\,$

Quindi $x=-1$ e $x=1$ sono gli unici due punti di minimo assoluti per $f_c$ e

(25) $\begin{equation*} \min_\mathbb{R} f = -c. \end{equation*}$

Invece $x=0$ è un punto di massimo relativo per $f$ e

(26) $\begin{equation*} f(0) = \frac{\pi}{4}-c. \end{equation*}$

Si ha inoltre

(27) $\begin{equation*} \lim_{x \to \pm \infty} f_c(x) = \frac{\pi}{2} - c = \sup_\mathbb{R} f_c. \end{equation*}$

Tali caratteristiche sono illustrate in figura 7 . Da (27) si ha che esiste $a >1$ tale che

(28) $\begin{equation*} f_c(a) = f_c(-a) >0. \end{equation*}$

Applicando il teorema di esistenza degli zeri agli intervalli $[-a,-1]$ e $[1,a]$ si ottiene che $f_c$ possiede esattamente uno zero in ognuno di tali intervalli. Tali zeri sono gli unici in $(-\infty,1]$ e $[1,+\infty)$ per la monotonia di $f_c$ .

Dato poi che si ha

(29) $\begin{equation*} f(-1)=-c < 0, \qquad f(0)= \frac{\pi}{4} - c >0, \qquad f(1) - c <0, \end{equation*}$

per il teorema degli zeri 1 $f$ possiede uno zero in $(-1,0)$ e uno zero in $(0,1)$ e tali zeri sono unici per la monotonia di $f$ . Quindi $f$ possiede esattamente 4 zeri.

$\,$

Svolgimento punto 3.

Con ragionamenti analoghi ai precedenti, si ottengono le seguenti casistiche.

Se $c<0$ , si ha $\min_\mathbb{R} f_c= -c>0$ e quindi $f_c$ non possiede alcuno zero.
Se $c=0$ , $f_c$ possiede gli unici zeri $x=-1$ e $x=1$ .
Se $c \in \left ( 0,\frac{\pi}{4}\right )$ , $f_c$ possiede 4 zeri: uno in $(-\infty,-1)$ , uno in $(-1,0)$ , uno in $(0,1)$ e uno in $(1,+\infty)$ .
Se $c= \frac{\pi}{4}$ , $f_c$ possiede esattamente 3 zeri: uno in $(-\infty,1)$ , $x=0$ e uno in $(1,+\infty)$ .
Se $c \in \left ( \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2} \right )$ , $f_c$ possiede 2 zeri: uno in $(-\infty,1)$ e uno in $(1,+\infty)$ .
Se $c \geq \frac{\pi}{2}$ , allora $f_c$ non possiede alcuno zero.

$\,$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ una funzione continua tale che $f(0)=f(1)$ .

$\,$

Si dimostri che, per ogni $n \in \mathbb{N}$ , esiste $x_n \in (0,1)$ che soddisfa

(30) $\begin{equation*} f(x_n) = f (x_n^n). \end{equation*}$

$\,$

Svolgimento.

Fissiamo $n \in \mathbb{N}$ . Dato che per $n=1$ il problema è banale (ogni $x \in (0,1)$ è soluzione), si ponga $n \geq 2$ . Il problema è equivalente a studiare gli zeri della funzione $g \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ definita da

(31) $\begin{equation*} g(x) = f(x) - f(x^n) \qquad \forall x \in [0,1]. \end{equation*}$

$g$ è continua perché somma e composizione di funzioni continue per le proposizioni 3 e 4. Per il teorema di Weierstrass 6, $f$ possiede massimo e minimo su $[0,1]$ :

(32) $\begin{equation*} M \coloneqq \max_{[0,1]} f , \qquad m \coloneqq \min_{[0,1]}f. \end{equation*}$

Se $f$ è costante, ovvero se $M=m=f(0)$ , allora esistono infinite soluzioni dell’equazione.

Altrimenti almeno uno tra $M$ e $m$ è diverso da $f(0)$ , quindi senza perdita di generalità supponiamo che

(33) $\begin{equation*} M >f(0) \end{equation*}$

(l’altro caso è analogo). Consideriamo ora l’insieme $E$ dei punti di massimo assoluto di $f$ , ovvero

(34) $\begin{equation*} E \coloneqq \{x \in [0,1] \colon f(x)=M\}, \end{equation*}$

e siano

(35) $\begin{equation*} a= \inf E, \qquad b = \sup E \end{equation*}$

i suoi estremi inferiore e superiore, si veda la figura 8 . Chiaramente $0 \leq a \leq b \leq 1$

$\,$

Figura 8: una funzione $f$ soddisfacente le ipotesi dell’esercizio 12. In rosso sono rappresentati i punti di massimo per $f$ , ossia l’insieme $E$ . Si noti come $a^n < a= \min E$ e quindi $f(a^n) < f(a)$ e come $\sqrt[n]{b}> b = \max E$ e quindi $f(\sqrt[n]{b}) < f(b)$ .

$\,$

Si ha $a=\min E, b=\max E$ e $0 < a \leq b < 1$ . Infatti, per definizione di estremo inferiore, esiste una successione $a_k \in E$ tale che $a_k \to a$ . Per la continuità di $f$ e la caratterizzazione della continuità per successioni 5 si ha

(36) $\begin{equation*} f(a) = \lim_{k \to + \infty} f(a_k) = \lim_{k \to + \infty} M = M, \end{equation*}$

dove la seconda uguaglianza segue dal fatto che $a_k \in E$ e quindi $f(a_k)= M$ per ogni $k \in \mathbb{N}$ . Quindi $f(a)=M$ e quindi $a \in E$ . Da (36) segue anche che $a>0$ (altrimenti si avrebbe $f(a)=f(0)< M$ ). Analogamente si prova che $b \in E$ e che $b<1$ .
$g(a)>0$ e $g\big(\sqrt[n]{b} \big)<0$ . Infatti
(37) $\begin{equation*} f(a) = M > f(a^n), \end{equation*}$

dove la disuguaglianza stretta segue dal fatto che $a^n< a$ (dato che $a \in (0,1)$ ) e quindi $a^n \notin E$ ; da ciò segue che $g(a)>0$ . Analogamente

(38) $\begin{equation*} f\big(\sqrt[n]{b} \big) < M = f(b), \end{equation*}$

dove la disuguaglianza stretta segue dal fatto che $\sqrt[n]{b}> b$ (poiché $b \in (0,1)$ ) e quindi $\sqrt[n]{b} \notin E$ ; similmente quindi $g\big(\sqrt[n]{b} \big)<0$ .
Esistenza di $x_n$ . Poiché $g$ è una funzione continua su $\big[ a, \sqrt[n]{b}\big]$ con $g(a) \cdot g\big( \sqrt[n]{b} \big) <0$ , per il teorema degli zeri esiste $x_n \in \big( a, \sqrt[n]{b}\big)$ tale che $g(x_n)=0$ , e quindi $x_n$ è una soluzione dell’equazione 30.

$\,$

Riferimenti bibliografici

[1] Qui Si Risolve, Funzioni continue – Teoria.

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