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Esercizi sul teorema di esistenza degli zeri – volume 2

Teorema degli zeri

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Benvenuti nel secondo volume di esercizi sul teorema di esistenza degli zeri. In questo articolo presentiamo ulteriori 13 esercizi che forniscono materiale aggiuntivo alla raccolta di esercizi sul teorema di esistenza degli zeri – volume 1 e ne costituiscono il naturale completamento.

Alcuni degli esercizi presentati sono di tipo standard e servono a familiarizzare col risultato e la sua applicazione, mentre altri richiedono ragionamenti più elaborati. Le soluzioni sono tutte completamente riportate e consentono così di confrontare i propri tentativi con quanto proposto dal nostro team. Buona lettura a tutti!

Oltre all’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo, segnaliamo il seguente materiale teorico di riferimento:

Di seguito, inoltre, le raccolte di esercizi su argomenti correlati:

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Sara Sottile, Luigi De Masi, Matteo Talluri.

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Richiami teorici

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le dimostrazioni dei seguenti risultati e per ulteriori approfondimenti si rimanda alla dispensa sulla funzioni continue [1].

Teorema 1  (teorema degli zeri). Sia f\colon [a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione continua.

Se f(a)\cdot f(b) < 0, allora esiste x_0\in \left(a,b\right) tale che f(x_0)=0.

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Corollario 2  ( [1], corollario 5.6). Siano f,g \colon [a,b] \to \mathbb{R} due funzioni continue tali che

(1) \begin{equation*} f(a)>g(a) \qquad \text{e} \qquad f(b) < g(b), \end{equation*}

oppure

(2) \begin{equation*} f(a)<g(a) \qquad \text{e} \qquad f(b) > g(b). \end{equation*}

Allora esiste x_0 \in (a,b) tale che

(3) \begin{equation*} f(x_0)=g(x_0). \end{equation*}

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Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 3.  Valgono le seguenti proprietà:

  • Ogni polinomio P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua, [ 1, proposizione 2.8].
  • La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua, [ 1, proposizione 2.9].
  • La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per \forall è continua, [ 1, proposizione 2.10].
  • Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua, [ 1, proposizione 2.12].
  • Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua, [ 1, proposizione 5.21].
  • Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua, [ 1, proposizione 5.19].
  • La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua, [ 1, proposizione 5.28].
  • La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua, [ 1, proposizione 5.28].

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Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 4.  Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora

  • La somma f + g e il prodotto f g sono funzioni continue, [ 1, proposizione 2.13].
  • Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}, [ 1, proposizione 2.13].
  • Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0, [ 1, proposizione 2.15].
  • Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua, [ 1, proposizione 5.24].

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Richiamiamo inoltre i seguenti risultati che verranno utilizzati nel corso della dispensa.

Teorema 5  (caratterizzazione della continuità per successioni [ 1, teorema 3.3]). Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R} e sia x_0 \in A. Allora le due affermazioni seguenti sono equivalenti:

  1. f è continua in x_0 ;
  2. per ogni successione \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} a valori in A tale che x_n \to x_0, si ha

    (4) \begin{equation*} \displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=f(x_0). \end{equation*}

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Teorema 6  (Weierstrass, [ 1 teorema 5.30]). Siano a, b \in \mathbb{R}, a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in A tali che

\[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

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Testi degli esercizi

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Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f\colon (-1,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

\[f(x) = -2+x+\log(1+x) \quad \forall x \in (-1,+\infty).\]

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Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo [0,3].

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Svolgimento.

Osserviamo che la funzione f è continua, poiché somma di funzioni continue per le proposizioni 3 e 4. Valutando la funzione agli estremi dell’intervallo [0,3] si ha:

\[\begin{aligned} f(0) =& -2+0+\log 1 = -2< 0,\\ f(3) =& -2+3+\log 4 > 0, \end{aligned}\]

per cui f(0) \cdot f(3) < 0, dunque le ipotesi del teorema degli zeri 1 sono valide. Allora, per il teorema di esistenza degli zeri, esiste x_0 \in (0,3) tale che

\[f(x_0) = 0.\]

Il grafico in figura 1 evidenzia lo zero della funzione f.

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Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 1

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Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f\colon (-\infty,0)\cup (0,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

\[f(x) = -\log |x| \quad \forall x \in(-\infty,0)\cup (0,+\infty) .\]

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Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo [e^{-1},e].

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Svolgimento.

Osserviamo che la funzione f è continua per le proposizioni 3 e 4. Valutando la funzione agli estremi dell’intervallo [e^{-1},e] si ha:

\[f(e^{-1})= -\log \left|e^{-1} \right| = 1 >0 \qquad f(e)= - \log |e| = -1 < 0.\]

per cui f(e^{-1}) \cdot f(e) < 0, dunque le ipotesi del teorema degli zeri 1 sono valide. Allora, per il teorema di esistenza degli zeri, esiste x_0 \in [e^{-1},e] tale che

\[f(x_0) = 0.\]

Il grafico in figura 2 evidenzia lo zero della funzione f.

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Figura 2: rappresentazione della funzione dell’esercizio 2

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Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia f\colon [-1,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

\[f(x) = \sqrt{x+1} + \sqrt{x+6}-5 \quad \forall x \in [-1,+\infty) .\]

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Stabilire se valgono le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo [-1,5].

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