Testi degli esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate

Esercizi sul teorema di Weierstrass con l'uso delle derivate

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Benvenuti nella dispensa dedicata agli esercizi sull’applicazione del teorema di Weierstrass. Questo documento rappresenta una risorsa per tutti quegli studenti desiderosi di approfondire la loro comprensione del teorema di Weierstrass, la verifica delle sue ipotesi, l’esistenza e la ricerca di massimi e minimi di funzioni continue, utilizzando anche l’ausilio delle derivate.

All’interno di questa dispensa troverete una selezione accurata di 20 esercizi svolti. Ciascun esercizio è stato scelto per stimolare e migliorare la vostra comprensione, mentre le soluzioni dettagliate e le spiegazioni vi accompagneranno attraverso concetti complessi in modo chiaro e intuitivo.

Auguriamo una piacevole lettura e un proficuo apprendimento! Per i richiami teorici più completi si rimanda alle dispense sulle funzioni continue e alla dispensa di teoria sul calcolo differenziale. Per altri esercizi sul tema, si rimanda alla dispensa di esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate.

 

Esercizio 1   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, dove D rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati A. In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

    \[\begin{aligned} 1. & \quad  f(x)=\dfrac{1}{2^x -1}, \qquad A=[-1,2];\\ 2. & \quad  f(x) = \sqrt{\dfrac{1}{x -1}}, \qquad A=[1,2];\\ 3. & \quad f(x) = \ln(x+1), \qquad A=[1,3]; \\ 4. & \quad f(x) = \dfrac{5x}{x^2-1}, \qquad A=[2,7].\\ \end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 1
 

Esercizio 2   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, dove D rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati A. In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

    \[\begin{aligned} 1. & \quad f(x) = e^{2x}-2 , \qquad A=(0,3); \\ 2. & \quad  f(x) = \dfrac{x-4 }{x^2+2x}, \qquad A=[1,2];\\ 3. & \quad  f(x) = \dfrac{\sin x - x}{2 \cos x -1}, \qquad A=\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right];\\ 4. & \quad f(x) = \ln \left(\dfrac{2x}{x+3}\right), \qquad A=[0,5]. \\ \end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 2
 

Esercizio 3   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, dove D rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati A. In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

    \[\begin{aligned} 1. & \quad  f(x) = \tan x, \qquad A=\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right];\\ 2. & \quad  f(x) = \begin{cases} 			x^2 \quad & x \le 1 \\ 			x+1 \quad & x >1 		\end{cases}, \qquad A=[0,3];\\ 3. & \quad f(x) = x^3-3x+2, \qquad A=[-3,0]; \\ 4. & \quad  f(x) = -x - \dfrac{4}{x}+6, \qquad A=[-3,-1].\\ \end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 3
 

Esercizio 4  (\bigstar\larghwhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, dove D rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati A. In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

    \[\begin{aligned} 1. & \quad  f(x) = 2+\sqrt{x+6}, \qquad A=[-6,-4];\\ 2. & \quad f(x) = \dfrac{x^2}{e^{2x}}, \qquad A=[-1,1]; \\ 3. & \quad \dfrac{x}{\ln x}, \qquad A=[e,e^3]; \\ 4. & \quad  f(x) = \dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}, \qquad A=[0,\pi].\\ \end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 4
 

Esercizio 5  (\bigstar\largestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, dove D rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati A. In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

    \[\begin{aligned} 1. & \quad f(x) = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) + 3x, \qquad A=[0,2]; \\ 2. & \quad  f(x) = \arctan(x+\pi)+2x, \qquad A=[-4,1];\\ 3. & \quad f(x) = \dfrac{x^2-3x-4}{x^2+1}, \qquad A=[-2,1]; \\ 4. & \quad xe^x+1, \qquad A=[-2,1].  \\ \end{aligned}\]

 
Svolgimento esercizio 5