Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate 2

Esercizi sul teorema di Weierstrass con l'uso delle derivate

Home » Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate 2

In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda alle dispense sulle funzioni continue e alla dispensa di teoria sul calcolo differenziale.
 

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice massimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice punto di massimo per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice minimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice punto di minimo per f.

 
Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice punto di massimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice punto di minimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass. 

Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

    \[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 
Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1.

Valgono le seguenti proprietà:
\bullet Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
\bullet La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
\bullet Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 
Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2.

Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora
\bullet La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
\bullet Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
\bullet Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
\bullet Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 
Il seguente risultato ci permette di identificare i punti di massimo o minimo locale per funzioni derivabili
e sarà un utile strumento per la risoluzione degli esercizi della dispensa.

Teorema di Fermat.

Sia f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e sia x_0\in (a,b). Supponiamo che f sia derivabile in x_0 e che x_0 sia un punto di massimo o minimo locale per f. Allora f'(x_0)=0.

 
Da questo risultato segue dunque che i punti di massimo o minimo di una funzione f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} sono da ricercare tra i punti interni stazionari e negli estremi dell’intervallo.
Riassumiamo infine i risultati sulla derivabilità delle operazioni tra funzioni derivabili:

Proposizione 3.

Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon  A \to \mathbb{R} due funzioni derivabili. Valgono le seguenti proprietà:
\bullet La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni derivabili e vale

    \[\begin{aligned} 				(f+g)'(x) =& f'(x)+g'(x), \qquad \forall x \in A,\\ 				(f\cdot g)'(x) =& f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x), \qquad \forall x \in A. 			\end{aligned}\]

\bullet Il quoziente \frac{f}{g} è derivabile nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\} e vale

    \[\left(\frac{f}{g}\right)'(x) =  \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \qquad \forall x \in A^*.\]

\bullet Siano f\colon  A \to  \mathbb{R} e g\colon  B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è derivabile in x_0\in A e g è derivabile in y_0 \coloneqq f(x_0), allora la funzione composta g \circ f è derivabile in x_0 e vale

    \[(g \circ f)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g'(f(x_0)).\]

 

Testi degli esercizi

Esercizio 2   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, dove D rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati A. In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

    \[\begin{aligned} 1. & \quad f(x) = e^{2x}-2 , \qquad A=(0,3); \\ 2. & \quad  f(x) = \dfrac{x-4 }{x^2+2x}, \qquad A=[1,2];\\ 3. & \quad  f(x) = \dfrac{\sin x - x}{2 \cos x -1}, \qquad A=\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right];\\ 4. & \quad f(x) = \ln \left(\dfrac{2x}{x+3}\right), \qquad A=[0,5]. \\ \end{aligned}\]

 
Svolgimento.

1. Studiamo l’espressione

    \begin{equation*} 		f(x)=e^{2x}-2 \qquad \text{su } A= (0,3). 	\end{equation*}

Osserviamo che l’intervallo dato non è chiuso, dunque le ipotesi del teorema di Weierstrass non sono soddisfatte.

La funzione f è rappresentata in figura 1.
 

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 1.

  

2. Studiamo l’espressione

    \begin{equation*} 		f(x)=\dfrac{x-4}{x^2+2x} \qquad \text{su } A= [1,2]. 	\end{equation*}

Osserviamo il campo di esistenza della funzione f è dato da tutti i punti di \mathbb{R} esclusi quelli che annullano il denominatore, cioè si deve avere

    \[x^2+2x \neq 0 \Longleftrightarrow x \neq 0 \quad \text{o}\quad x \neq -2.\]

Segue che la funzione f è ben definita nell’intervallo chiuso e limitato A ed inoltre essa è continua per la proposizione 2; le ipotesi del teorema di Weierstrass sono quindi soddisfatte. La funzione f è rappresentata in figura 2.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 2: rappresentazione della funzione dell’esercizio 2.

  

Utilizziamo il teorema di Fermat per trovare i punti di massimo e minimo locale di f. Per la proposizione 3 f è derivabile in [1,2] e la sua la derivata è

    \[f'(x) = \dfrac{-x^2 + 8x + 8}{x^2(x+2)^2},\]

che ha come radici

    \[x_1 = 2(2-\sqrt{6}) \qquad \text{e}\qquad x_2 = 2(2+\sqrt{6}).\]

Poiché entrambi i punti sono al di fuori dell’intervallo [-1,2], segue che i punti di massimo e minimo assoluti di f vengono assunti agli estremi del dominio. Si ha:

    \[f(-1) = 5, \quad f(2) = - \dfrac{1}{4} \quad \Longrightarrow \quad \min_{A}f(x) = f(2)=- \dfrac{1}{4} , \quad \max_{A}f(x)=f(-1) = 5.\]

 
3. Studiamo l’espressione

    \begin{equation*} 		f(x)=\dfrac{\sin x - x}{2 \cos x -1} \qquad \text{su } A= \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]. 	\end{equation*}

Osserviamo che il campo di esistenza della funzione f è dato dai punti che non annullano il denominatore, ossia

    \[2 \cos x -1 \neq 0 \Longleftrightarrow x \neq \pm \dfrac{\pi}{3}+2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}.\]

Poiché il punto \frac{\pi}{3}\in A, segue che f non è definita sull’intervallo dato A e dunque non ha senso chiedersi se le ipotesi del teorema di Weierstass siano verificate. La funzione f\colon A \setminus\{ \frac{\pi}{3}\}\to \mathbb{R} è rappresentata in figura 3.
 

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 3: rappresentazione della funzione dell’esercizio 3.

  

4. Studiamo l’espressione

    \begin{equation*} 		f(x)=\ln\left(\dfrac{2x}{x+3}\right) \qquad \text{su } A= [0,5]. 	\end{equation*}

Osserviamo che il campo di esistenza della funzione f è dato da

    \[\dfrac{2x}{x+3}>0 \Longleftrightarrow x \in (-\infty,-3) \cup (0,+\infty).\]

Poiché 0\notin A, segue che f non è definita sull’intervallo dato A e dunque non ha senso chiedersi se le ipotesi del teorema di Weierstass siano verificate. La funzione f\colon (0,5]\to \mathbb{R} è rappresentata in figura 4.
 

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 4: rappresentazione della funzione dell’esercizio 4.