Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate 3

Esercizi sul teorema di Weierstrass con l'uso delle derivate

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda alle dispense sulle funzioni continue e alla dispensa di teoria sul calcolo differenziale.

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Sia $f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione. $M\in \mathbb{R}$ si dice massimo di $f$ in $A$ se esiste $x_0\in A$ tale che

$f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.$

In tal caso scriviamo $M = \max_A f$ e $x_0$ si dice punto di massimo per $f$ .

Analogamente, $m\in \mathbb{R}$ si dice minimo di $f$ in $A$ se esiste $x_0\in A$ tale che

$f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.$

In tal caso scriviamo $m=\min_A f$ e $x_0$ si dice punto di minimo per $f$ .

Un punto $x_0$ può non essere di massimo o di minimo assoluto per $f$ , ma può esserlo se restringiamo $f$ a un intorno di $x_0$ . Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Sia $f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funzione. $x_0\in A$ si dice punto di massimo locale per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

$f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).$

Analogamente, $x_0\in A$ si dice punto di minimo locale per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

$f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).$

Teorema di Weierstrass.

Siano $a, b \in \mathbb{R}$ , con $a \leq b$ e sia $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $[a,b]$ , ovvero esistono $x_m, \, x_M \in [a,b]$ tali che

$f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] .$

Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1.

Valgono le seguenti proprietà:
$\bullet$ Ogni funzione polinomiale $P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è una funzione continua.
$\bullet$ La funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \sin x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.
$\bullet$ La funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \cos x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.
$\bullet$ Sia $a > 0$ un numero reale. La funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = a^x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.
$\bullet$ Sia $a >0$ un numero reale. La funzione $f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \log_a (x)$ per $x \in (0,+\infty)$ è continua.
$\bullet$ Sia $n \in \mathbb{N}$ . La funzione $f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty]$ , se $n$ è pari, o la funzione $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , se $n$ è dispari, definita da $f(x)=\sqrt[n]{x}$ è continua.
$\bullet$ La funzione $f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ definita da $f(x) = \arcsin x$ per $x \in [-1,1]$ è continua.
$\bullet$ La funzione $f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right]$ definita da $f(x) = \arccos x$ per $x \in [-1,1]$ è continua.
$\bullet$ La funzione $f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ definita da $f(x)=\arctan x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.

Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2.

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , e siano $f,g \colon A \to \mathbb{R}$ due funzioni continue. Allora
$\bullet$ La somma $f + g$ e il prodotto $f\cdot g$ sono funzioni continue.
$\bullet$ Il quoziente $\frac{f}{g}$ è continuo nell’insieme $A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}$ .
$\bullet$ Siano $f\colon A \to \mathbb{R}$ e $g\colon B \to \mathbb{R}$ funzioni tali che $f(A) \subseteq B$ . Se $f$ è continua in $x_0\in A$ e $g$ è continua in $y_0 \coloneqq f(x_0)\in B$ , allora la funzione composta $g \circ f$ è continua in $x_0$ .
$\bullet$ Siano $f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funzioni continue con $f>0$ . Allora la funzione $f^g$ è continua.

Il seguente risultato ci permette di identificare i punti di massimo o minimo locale per funzioni derivabili
e sarà un utile strumento per la risoluzione degli esercizi della dispensa.

Teorema di Fermat.

Sia $f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e sia $x_0\in (a,b)$ . Supponiamo che $f$ sia derivabile in $x_0$ e che $x_0$ sia un punto di massimo o minimo locale per $f$ . Allora $f'(x_0)=0$ .

Da questo risultato segue dunque che i punti di massimo o minimo di una funzione $f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sono da ricercare tra i punti interni stazionari e negli estremi dell’intervallo.
Riassumiamo infine i risultati sulla derivabilità delle operazioni tra funzioni derivabili:

Proposizione 3.

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , e siano $f,g \colon A \to \mathbb{R}$ due funzioni derivabili. Valgono le seguenti proprietà:
$\bullet$ La somma $f + g$ e il prodotto $f\cdot g$ sono funzioni derivabili e vale

$\begin{aligned} (f+g)'(x) =& f'(x)+g'(x), \qquad \forall x \in A,\\ (f\cdot g)'(x) =& f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x), \qquad \forall x \in A. \end{aligned}$

$\bullet$ Il quoziente $\frac{f}{g}$ è derivabile nell’insieme $A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}$ e vale

$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \qquad \forall x \in A^*.$

$\bullet$ Siano $f\colon A \to \mathbb{R}$ e $g\colon B \to \mathbb{R}$ funzioni tali che $f(A) \subseteq B$ . Se $f$ è derivabile in $x_0\in A$ e $g$ è derivabile in $y_0 \coloneqq f(x_0)$ , allora la funzione composta $g \circ f$ è derivabile in $x_0$ e vale

$(g \circ f)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g'(f(x_0)).$

Testi degli esercizi

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ .

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni $f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , dove $D$ rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati $A$ . In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

$\begin{aligned} 1. & \quad f(x) = \tan x, \qquad A=\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right];\\ 2. & \quad f(x) = \begin{cases} x^2 \quad & x \le 1 \\ x+1 \quad & x >1 \end{cases}, \qquad A=[0,3];\\ 3. & \quad f(x) = x^3-3x+2, \qquad A=[-3,0]; \\ 4. & \quad f(x) = -x - \dfrac{4}{x}+6, \qquad A=[-3,-1].\\ \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Studiamo l’espressione

$\begin{equation*} f(x)=\tan x \qquad \text{su } A=\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]. \end{equation*}$

Osserviamo che il campo di esistenza della funzione $f$ è dato dall’insieme

$\left\{ x\in \mathbb{R} \; \colon \; x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, \; k \in \mathbb{Z}\right\}.$

Segue che $f$ è ben definita nell’intervallo chiuso e limitato $A$ ed inoltre è continua per la proposizione 2; le ipotesi del teorema di Weierstrass sono dunque verificate. La funzione $f$ è rappresentata in figura 1.

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Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 1.

Poiché la funzione tangente è strettamente crescente, segue che i punti di massimo e minimo assoluti di $f$ sono assunti agli estremi dell’intervallo, cioè

$f(0) = 0, \quad f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \quad \Longrightarrow \quad \min_{A}f(x)=f(0) = 0, \quad \max_{A}f(x)=f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.$

2. Studiamo l’espressione

$\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x^2 \quad & x \le 1 \\ x+1 \quad & x >1 \end{cases}, \qquad A=\left[0,3\right]. \end{equation*}$

Osserviamo che la funzione $f$ è continua negli intervalli $[0,1)$ e $(1,3)$ per la proposizione 2. Resta da verificare la continuità nel punto $x=1$ :

$\begin{aligned} \lim_{x\to 1^-} f(x) &= 1=f(1), \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) &= 2. \end{aligned}$

Segue che funzione $f$ non è continua in nel punto $1$ , dunque le ipotesi del teorema di Weierstrass non sono verificate nell’intervallo dato $A$ . La funzione $f$ è rappresentata in figura 2.

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3. Studiamo l’espressione

$\begin{equation*} f(x) = x^3-3x+2, \qquad A=\left[-3,0\right]. \end{equation*}$

La funzione $f$ ha come campo di esistenza $\mathbb{R}$ . Inoltre $f$ è una funzione polinomiale e dunque continua per la proposizione 1. Segue che $f$ ben definita nell’intervallo chiuso e limitato $A$ ed ivi continua, dunque le ipotesi del teorema di Weierstrass ed $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $[-3,0]$ . La funzione $f$ è rappresentata in figura 3.

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Figura 3: rappresentazione della funzione dell’esercizio 3.

Utilizziamo il teorema di Fermat per trovare i punti di massimo e minimo locale di $f$ . Per la proposizione 3 si ha che la funzione $f$ è derivabile e la sua derivata è

$f'(x) = 3x^2- 3 = 0 \Longleftrightarrow x_{1,2} = \pm 1.$

Poiché il punto $x=1\notin [-3,0]$ e ricordando che il teorema di Fermat fornisce informazione sui massimi e minimi locali nell’interno dell’intervallo, valutiamo la funzione negli estremi del dominio dato e nel punto $x=-1$ :

$f(-3) = - 16, \quad f(-1) =4, \quad f(0) = 2.$

Segue dunque che

$\min_{A}f(x) = f(-3)=-16, \qquad \max_{A}f(x)=f(-1) = 4.$

4. Studiamo l’espressione

$\begin{equation*} f(x) =-x-\dfrac{4}{x}+6 , \qquad A=\left[-3,-1\right]. \end{equation*}$

Osserviamo che la funzione $f$ ha come campo di esistenza $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ , dunque è ben definita sull’intervallo chiuso e limitato $A$ . Inoltre $f$ è una funzione continua per le proposizioni 1 e 2. Segue che le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate ed $f$ ammette massimo e minimo assoluto in $[-3,-1]$ . La funzione $f$ è rappresentata in figura 4.

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Figura 4: rappresentazione della funzione dell’esercizio 4.

Per la proposizione 3 la funzione $f$ è derivabile, dunque procediamo al calcolo della derivata di $f$ per applicare il teorema di Fermat. Per la proposizione 3 la derivata di $f$ è

$f'(x) = -1 + \dfrac{4}{x^2},$

da cui

$f'(x) = 0 \Longleftrightarrow 4 - x^2 = 0 \Longleftrightarrow x_{1,2} = \pm 2.$

Poiché il punto $2 \notin [-3,-1]$ , segue che l’unico punto interno stazionario per $f$ è $x=-2$ . Ricordando che il teorema di Fermat fornisce informazioni solo sui punti interni stazionari, valutiamo dunque la funzione nel punto trovato e agli estremi dell’intervallo:

$f(-3) = \dfrac{31}{3}, \qquad f(-2) = 10, \qquad f(-1) = 11.$

Segue dunque che $f$ assume minimo e massimo assoluti negli estremi del dominio e

$\min_{A} f(x) = f(-2)=10, \qquad \max_{A}f(x)=f(-1) = 11.$

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Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Teorema di Weierstrass.

Proposizione 1.

Proposizione 2.

Teorema di Fermat.

Proposizione 3.

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