Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate 4

Esercizi sul teorema di Weierstrass con l'uso delle derivate

Home » Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate 4

In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda alle dispense sulle funzioni continue e alla dispensa di teoria sul calcolo differenziale.
 

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice massimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice punto di massimo per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice minimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice punto di minimo per f.

 
Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice punto di massimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice punto di minimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass. 

Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

    \[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 
Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1.

Valgono le seguenti proprietà:
\bullet Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
\bullet La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
\bullet Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 
Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2.

Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora
\bullet La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
\bullet Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
\bullet Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
\bullet Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 
Il seguente risultato ci permette di identificare i punti di massimo o minimo locale per funzioni derivabili
e sarà un utile strumento per la risoluzione degli esercizi della dispensa.

Teorema di Fermat.

Sia f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e sia x_0\in (a,b). Supponiamo che f sia derivabile in x_0 e che x_0 sia un punto di massimo o minimo locale per f. Allora f'(x_0)=0.

 
Da questo risultato segue dunque che i punti di massimo o minimo di una funzione f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} sono da ricercare tra i punti interni stazionari e negli estremi dell’intervallo.
Riassumiamo infine i risultati sulla derivabilità delle operazioni tra funzioni derivabili:

Proposizione 3.

Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon  A \to \mathbb{R} due funzioni derivabili. Valgono le seguenti proprietà:
\bullet La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni derivabili e vale

    \[\begin{aligned} 				(f+g)'(x) =& f'(x)+g'(x), \qquad \forall x \in A,\\ 				(f\cdot g)'(x) =& f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x), \qquad \forall x \in A. 			\end{aligned}\]

\bullet Il quoziente \frac{f}{g} è derivabile nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\} e vale

    \[\left(\frac{f}{g}\right)'(x) =  \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \qquad \forall x \in A^*.\]

\bullet Siano f\colon  A \to  \mathbb{R} e g\colon  B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è derivabile in x_0\in A e g è derivabile in y_0 \coloneqq f(x_0), allora la funzione composta g \circ f è derivabile in x_0 e vale

    \[(g \circ f)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g'(f(x_0)).\]

 

Testi degli esercizi

Esercizio 4   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, dove D rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati A. In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

    \[\begin{aligned} 1. & \quad  f(x) = 2+\sqrt{x+6}, \qquad A=[-6,-4];\\ 2. & \quad f(x) = \dfrac{x^2}{e^{2x}}, \qquad A=[-1,1]; \\ 3. & \quad \dfrac{x}{\ln x}, \qquad A=[e,e^3]; \\ 4. & \quad  f(x) = \dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}, \qquad A=[0,\pi].\\ \end{aligned}\]

 
Svolgimento.

1. Studiamo l’espressione

    \begin{equation*} 		f(x) = 2+\sqrt{x+6}, \qquad A=\left[-6,-4\right]. 	\end{equation*}

Il campo di esistenza della funzione f è x\geq -6, dunque la funzione è ben definita nell’intervallo chiuso e limitato A. Inoltre f è continua, le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate e f ammette massimo e minimo assoluti. La funzione f è rappresentata in figura 1.
 

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 1.

 

Osserviamo che la funzione f è strettamente crescente in quanto composizione di funzioni strettamente crescenti e quindi essa assume minimo assoluto in x=-6 e massimo assoluto in x=-4, cioè

    \[\min_{A}f(x) = f(-6) = 2, \qquad \max_{A}f(x) =f(-4) = 2+\sqrt{2}.\]

 
2. Studiamo l’espressione

    \begin{equation*} 		f(x) = \dfrac{x^2}{e^{2x}}, \qquad A=\left[-1,1\right]. 	\end{equation*}

La funzione f ha come ha come campo di esistenza \mathbb{R}, dunque è ben definita in nell’intervallo chiuso e limitato A. Inoltre f è una funzione continua per le proposizioni 1 e 2. Segue che le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate ed f ammette massimo e minimo assoluto in [-1,1]. La funzione f è rappresentata in figura 2.
 

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 2: rappresentazione della funzione dell’esercizio 2.

 
Utilizziamo il teorema di Fermat per trovare i punti di massimo e minimo locali per f. Per la proposizione 3 la funzione f è derivabile e la sua derivata è

    \[f'(x) = \dfrac{2x \cdot e^{2x} - x^2 \cdot 2 e^{2x}}{e^{4x}} = \dfrac{2x(1-x)}{e^{2x}} \qquad \forall x \in [-1,1],\]

da cui segue che

    \[f'(x) = 0 \Longleftrightarrow x_1 = 0, \quad x_2 = 1.\]

Per il teorema di Fermat i punti di massimo e minimo vanno cercati nei punti stazionari e negli estremi dell’intervallo, cioè

    \[f(-1) = e^2, \qquad f(0) = 0, \qquad f(1) = e^{-2},\]

da cui si conclude che

    \[\min_{A}f(x) =f(0)= 0, \qquad \max_{A}f(x) =f(-1)=e^2.\]

 

3. Studiamo l’espressione

    \begin{equation*} 		f(x) = \dfrac{x}{\ln x}, \qquad A=\left[e,e^3\right]. 	\end{equation*}

Osserviamo che il campo di esistenza della funzione f è dato da

    \[\begin{cases} 		x > 0, \\ 		\ln x \neq 0 	\end{cases} \iff x \in (0,1)\cup (1,+\infty).\]

Segue dunque che f è ben definita nell’intervallo chiuso e limitato A e, poiché f è continua per le proposizioni 1 e 2, si ha che f soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass. La funzione f è rappresentata in figura 3.
 

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 3: rappresentazione della funzione dell’esercizio 3.

 
Utilizziamo il teorema di Fermat per trovare i punti di massimo e minimo locali per f. Per la proposizione 3 la funzione f è derivabile e la sua derivata è

    \[f'(x) = \dfrac{\ln x - x \cdot\frac{1}{x}}{\ln^2 x} = \dfrac{\ln x - 1}{\ln^2 x} \qquad \forall x \in [e,e^3],\]

da cui

    \[f'(x) = 0 \Longleftrightarrow \ln x = 1 \Longleftrightarrow x = e.\]

Segue che f non ha punti di massimo o minimo locali interni e dunque assume massimo e minimo assoluti negli estremi dell’intervallo. Si ha

    \[f(e) =e, \quad f(e^3)= \dfrac{e^3}{3}\qquad  \Longrightarrow \qquad \min_{A}f(x) = f(e)=e, \quad \max_{A}f(x)= f(e^3)= \dfrac{e^3}{3}.\]

 

4. Studiamo l’espressione

    \begin{equation*} 		f(x) = \dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}, \qquad A=\left[0,\pi\right]. 	\end{equation*}

Osserviamo che il campo di esistenza di f è

    \[\sin x \neq - 1 \Longleftrightarrow x \neq \left\{\dfrac{3 \pi}{2}+2k \pi, \quad k\in \mathbb{Z} \right\}.\]

Poiché tale insieme non interseca l’insieme [0,\pi], la funzione è ben definita in tale intervallo. Poiché tale intervallo è chiuso e limitato e la funzione f è continua in \left[0,\pi\right] per le proposizioni 1 e 2 sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass ed f ammette massimo e minimo assoluti nell’intervallo \left[0,\pi \right]. La funzione f è rappresentata in figura 4.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 4: rappresentazione della funzione dell’esercizio 4.

 
Osserviamo che

    \[0 \leq 1-\sin x \leq 1, \quad 1 \leq 1+\sin x \leq 2 \qquad \forall x \in [0,\pi],\]

da cui

    \[0 \leq \dfrac{1-\sin x}{1 + \sin x} \leq 1 \qquad \forall x \in [0,\pi].\]

Poiché

    \[f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0, \quad f(0)= f(\pi) = 1,\]

si ha

    \[\max_{A} f(x)= f(\pi)= 1  \qquad \mbox{e} \qquad \min_{A} f(x)=	f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.\]