Esercizio sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate – 5

Esercizi sul teorema di Weierstrass con l'uso delle derivate

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Esercizio sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate – 5

In questo quinto articolo della raccolta Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate studiamo l’applicabilità del teorema a 4 funzioni definite in alcuni insiemi, e ne ricerchiamo i punti di massimo e di minimo mediante l’uso delle derivate. Segnaliamo anche il precedente esercizio sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate – 4 per ulteriore materiale sul medesimo tema.

Richiami teorici

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Ricordiamo i principali risultati teorici utilizzati nella soluzione dell’esercizio. Per le dimostrazioni e approfondimenti della teoria, rimandiamo agli articoli Funzioni continue – Teoria e Teoria sulle derivate.

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti. Sia $f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione. $M\in \mathbb{R}$ si dice massimo di $f$ in $A$ se esiste $x_0\in A$ tale che

$f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.$

In tal caso scriviamo $M = \max_A f$ e $x_0$ si dice punto di massimo per $f$ .

Analogamente, $m\in \mathbb{R}$ si dice minimo di $f$ in $A$ se esiste $x_0\in A$ tale che

$f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.$

In tal caso scriviamo $m=\min_A f$ e $x_0$ si dice punto di minimo per $f$ .

Un punto $x_0$ può non essere di massimo o di minimo assoluto per $f$ , ma può esserlo se restringiamo $f$ a un intorno di $x_0$ . Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali. Sia $f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funzione. $x_0\in A$ si dice punto di massimo locale per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

$f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).$

Analogamente, $x_0\in A$ si dice punto di minimo locale per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

$f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).$

Teorema di Weierstrass. Siano $a, b \in \mathbb{R}$ , con $a \leq b$ e sia $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $[a,b]$ , ovvero esistono $x_m, \, x_M \in [a,b]$ tali che

$f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] .$

Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1. Valgono le seguenti proprietà:

Ogni funzione polinomiale $P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è una funzione continua.
La funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \sin x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.
La funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \cos x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.
Sia $a > 0$ un numero reale. La funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = a^x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.
Sia $a >0$ un numero reale. La funzione $f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \log_a (x)$ per $x \in (0,+\infty)$ è continua.
Sia $n \in \mathbb{N}$ . La funzione $f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty]$ , se $n$ è pari, o la funzione $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , se $n$ è dispari, definita da $f(x)=\sqrt[n]{x}$ è continua.
La funzione $f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ definita da $f(x) = \arcsin x$ per $x \in [-1,1]$ è continua.
La funzione $f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right]$ definita da $f(x) = \arccos x$ per $x \in [-1,1]$ è continua.
La funzione $f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ definita da $f(x)=\arctan x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.

La prossima proposizione riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2. Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , e siano $f,g \colon A \to \mathbb{R}$ due funzioni continue. Allora

La somma $f + g$ e il prodotto $f\cdot g$ sono funzioni continue.
Il quoziente $\frac{f}{g}$ è continuo nell’insieme $A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}$ .
Siano $f\colon A \to \mathbb{R}$ e $g\colon B \to \mathbb{R}$ funzioni tali che $f(A) \subseteq B$ . Se $f$ è continua in $x_0\in A$ e $g$ è continua in $y_0 \coloneqq f(x_0)\in B$ , allora la funzione composta $g \circ f$ è continua in $x_0$ .
Siano $f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funzioni continue con $f>0$ . Allora la funzione $f^g$ è continua.

Il teorema che segue ci permette di identificare i punti di massimo o minimo locale per funzioni derivabili.

Teorema di Fermat. Sia $f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e sia $x_0\in (a,b)$ . Supponiamo che $f$ sia derivabile in $x_0$ e che $x_0$ sia un punto di massimo o minimo locale per $f$ . Allora $f'(x_0)=0$ .

Da questo risultato segue dunque che i punti di massimo o minimo di una funzione $f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sono da ricercare tra i punti interni stazionari e negli estremi dell’intervallo.

Riassumiamo infine i risultati sulla derivabilità delle operazioni tra funzioni derivabili:

Proposizione 3. Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , e siano $f,g \colon A \to \mathbb{R}$ due funzioni derivabili. Valgono le seguenti proprietà:

La somma $f + g$ e il prodotto $f\cdot g$ sono funzioni derivabili e vale
$\begin{aligned} (f+g)'(x) =& f'(x)+g'(x), \qquad \forall x \in A,\\ (f\cdot g)'(x) =& f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x), \qquad \forall x \in A. \end{aligned}$
Il quoziente $\frac{f}{g}$ è derivabile nell’insieme $A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}$ e vale
$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \qquad \forall x \in A^*.$
Siano $f\colon A \to \mathbb{R}$ e $g\colon B \to \mathbb{R}$ funzioni tali che $f(A) \subseteq B$ . Se $f$ è derivabile in $x_0\in A$ e $g$ è derivabile in $y_0 \coloneqq f(x_0)$ , allora la funzione composta $g \circ f$ è derivabile in $x_0$ e vale
$(g \circ f)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g'(f(x_0)).$

Testo dell’esercizio

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ .

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni $f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , dove $D$ rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati $A$ . In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

$\begin{aligned} 1. & \quad f(x) = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) + 3x, \qquad A=[0,2]; \\ 2. & \quad f(x) = \arctan(x+\pi)+2x, \qquad A=[-4,1];\\ 3. & \quad f(x) = \dfrac{x^2-3x-4}{x^2+1}, \qquad A=[-2,1]; \\ 4. & \quad xe^x+1, \qquad A=[-2,1]. \\ \end{aligned}$

Svolgimento punto 1.

Studiamo l’espressione

$\begin{equation*} f(x) = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right)+3x, \qquad A=\left[0,2\right]. \end{equation*}$

La funzione $f$ ha come campo di esistenza

$\dfrac{x}{2} \in [-1,1] \Longleftrightarrow x \in [-2,2],$

dunque segue che $f$ è ben definita nell’intervallo chiuso e limitato $A$ . Poiché $f$ è continua per le proposizioni 1 e 2, segue che le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate ed $f$ ammette massimo e minimo assoluti. La funzione $f$ è rappresentata in figura 1.

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Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 1.

Si noti che $f$ è una funzione crescente in quanto somma di funzioni crescenti, dunque il massimo ed il minimo di $f$ sono assunti negli estremi dell’intervallo $[0,2]$ e si ha

$\min_{A} f(x) = f(0) = 0, \qquad \max_{A} f(x) = f(2) = \dfrac{\pi}{2}+6.$

Svolgimento punto 2.

Studiamo l’espressione

$\begin{equation*} f(x) = \arctan(x+\pi)+2x, \qquad A=\left[-4,1\right]. \end{equation*}$

Il campo di esistenza della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ , dunque $f$ è ben definita nell’intervallo chiuso e limitato $A$ . Osserviamo che $f$ è una funzione continua in quanto somma di funzioni continue, per le proposizioni 1 e 2, pertanto sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass ed $f$ ammette massimo e minimo assoluto nell’intervallo $\left[-4,1\right]$ . La funzione $f$ è rappresentata in figura 2.

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Figura 2: rappresentazione della funzione dell’esercizio 2.

Osserviamo che la funzione $\arctan$ è strettamente crescente, in quanto inversa della funzione $\tan$ che è strettamente crescente in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ . Segue che $f$ è strettamente crescente, in quanto composizione e somma di funzioni strettamente crescenti. Dunque $f$ assumerà minimo e massimo negli estremi dell’intervallo $[-4,1]$ da cui

$\min_{A} f = f(-4)=-8+\arctan(-4+\pi) \quad \text{e} \quad \max_{A}f = f(1)=\arctan(1+\pi)+2.$

Svolgimento punto 3.

Studiamo l’espressione

$\begin{equation*} f(x) = \dfrac{x^2-3x-4}{x^2+1}, \qquad A=\left[-2,1\right]. \end{equation*}$

Il campo di esistenza di $f$ è $\mathbb{R}$ , dunque $f$ è ben definita nell’intervallo chiuso e limitato $A$ . Poiché $f$ è continua per le proposizioni 1 e 2, essa soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass e quindi ammette massimo e minimo assoluti. La funzione $f$ è rappresentata in figura 3.

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Figura 3: rappresentazione della funzione dell’esercizio 3.

Utilizziamo il teorema di Fermat per trovare i punti di massimo e minimo locale per $f$ . Per la proposizione ?? la funzione $f$ è derivabile e la sua derivata è

$f'(x) = \dfrac{(2x-3)(x^2+1)+(x^2-3x-4)(2x)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{3x^2+10x-3}{(x^2+1)^2} \qquad \forall x \in [-2,1],$

da cui

$f'(x) = 0 \Longleftrightarrow x_{1} = \dfrac{-5-\sqrt{34}}{3}, \quad x_2 = \dfrac{-5+\sqrt{34}}{3}.$

Poiché $x_1 \notin [-2,-1]$ , segue che l’unico punto di stazionario interno per $f$ è $x_2$ . Poiché i massimi e minimi assoluti di $f$ vanno ricercati nei punti interni stazionari e negli estremi del dominio, valutiamo la funzione in tali punti:

$f(-2) = \dfrac{6}{5}, \qquad f\left(\dfrac{-5+\sqrt{34}}{3}\right)= - \dfrac{3+\sqrt{34}}{2}, \qquad f(1) = - 3,$

da cui

$\min_{A}f(x) = f\left(\dfrac{-5+\sqrt{34}}{3}\right)= - \dfrac{3+\sqrt{34}}{2}, \qquad \max_{A}f(x) = f(-2) = \dfrac{6}{5}.$

Svolgimento punto 4.

Studiamo l’espressione

$\begin{equation*} f(x) = xe^x+1, \qquad A=\left[-2,1\right]. \end{equation*}$

Il campo di esistenza di $f$ è $\mathbb{R}$ , dunque $f$ è ben definita nell’intervallo chiuso e limitato $A$ . Poiché $f$ è continua per le proposizioni 1 e 2, si ha che $f$ soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass ed ammette massimo e minimo assoluti. La funzione $f$ è rappresentata in figura 4.

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Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 1.

Osserviamo che la funzione $f$ è derivabile per la proposizione 3 e la sua derivata è

$f'(x) = e^x + xe^x = e^x(x+1) \qquad \forall x \in [-2,1].$

La derivata si annulla se e solo se $x=-1$ . Per il teorema di Fermat, i punti di massimo e minimo vanno ricercati nell’insieme costituito dagli estremi dell’intervallo e dai punti stazionari di $f$ in $[-2,1]$ , ossia in $\{-2,-1,1\}$ . Si ha

$f(-2) = -2e^{-2}+1, f(-1) =-e^{-1}+1, f(1) =e+1,$

da cui segue che

$\min f = f(-1) =-e^{-1}+1, \qquad \max f = f(1)=e+1.$

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