Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate 1

Esercizi sul teorema di Weierstrass con l'uso delle derivate

Home » Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate 1

In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda alle dispense sulle funzioni continue e alla dispensa di teoria sul calcolo differenziale.

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Sia $f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione. $M\in \mathbb{R}$ si dice massimo di $f$ in $A$ se esiste $x_0\in A$ tale che

$f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.$

In tal caso scriviamo $M = \max_A f$ e $x_0$ si dice punto di massimo per $f$ .

Analogamente, $m\in \mathbb{R}$ si dice minimo di $f$ in $A$ se esiste $x_0\in A$ tale che

$f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.$

In tal caso scriviamo $m=\min_A f$ e $x_0$ si dice punto di minimo per $f$ .

Un punto $x_0$ può non essere di massimo o di minimo assoluto per $f$ , ma può esserlo se restringiamo $f$ a un intorno di $x_0$ . Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Sia $f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funzione. $x_0\in A$ si dice punto di massimo locale per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

$f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).$

Analogamente, $x_0\in A$ si dice punto di minimo locale per $f$ se esiste $\delta >0$ tale che

$f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).$

Teorema di Weierstrass.

Siano $a, b \in \mathbb{R}$ , con $a \leq b$ e sia $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $[a,b]$ , ovvero esistono $x_m, \, x_M \in [a,b]$ tali che

$f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] .$

Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1.

Valgono le seguenti proprietà:
$\bullet$ Ogni funzione polinomiale $P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è una funzione continua.
$\bullet$ La funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \sin x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.
$\bullet$ La funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \cos x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.
$\bullet$ Sia $a > 0$ un numero reale. La funzione $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = a^x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.
$\bullet$ Sia $a >0$ un numero reale. La funzione $f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R}$ definita da $f(x) = \log_a (x)$ per $x \in (0,+\infty)$ è continua.
$\bullet$ Sia $n \in \mathbb{N}$ . La funzione $f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty]$ , se $n$ è pari, o la funzione $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , se $n$ è dispari, definita da $f(x)=\sqrt[n]{x}$ è continua.
$\bullet$ La funzione $f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ definita da $f(x) = \arcsin x$ per $x \in [-1,1]$ è continua.
$\bullet$ La funzione $f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right]$ definita da $f(x) = \arccos x$ per $x \in [-1,1]$ è continua.
$\bullet$ La funzione $f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ definita da $f(x)=\arctan x$ per $x \in \mathbb{R}$ è continua.

Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2.

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , e siano $f,g \colon A \to \mathbb{R}$ due funzioni continue. Allora
$\bullet$ La somma $f + g$ e il prodotto $f\cdot g$ sono funzioni continue.
$\bullet$ Il quoziente $\frac{f}{g}$ è continuo nell’insieme $A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}$ .
$\bullet$ Siano $f\colon A \to \mathbb{R}$ e $g\colon B \to \mathbb{R}$ funzioni tali che $f(A) \subseteq B$ . Se $f$ è continua in $x_0\in A$ e $g$ è continua in $y_0 \coloneqq f(x_0)\in B$ , allora la funzione composta $g \circ f$ è continua in $x_0$ .
$\bullet$ Siano $f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funzioni continue con $f>0$ . Allora la funzione $f^g$ è continua.

Il seguente risultato ci permette di identificare i punti di massimo o minimo locale per funzioni derivabili
e sarà un utile strumento per la risoluzione degli esercizi della dispensa.

Teorema di Fermat.

Sia $f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e sia $x_0\in (a,b)$ . Supponiamo che $f$ sia derivabile in $x_0$ e che $x_0$ sia un punto di massimo o minimo locale per $f$ . Allora $f'(x_0)=0$ .

Da questo risultato segue dunque che i punti di massimo o minimo di una funzione $f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sono da ricercare tra i punti interni stazionari e negli estremi dell’intervallo.
Riassumiamo infine i risultati sulla derivabilità delle operazioni tra funzioni derivabili:

Proposizione 3.

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , e siano $f,g \colon A \to \mathbb{R}$ due funzioni derivabili. Valgono le seguenti proprietà:
$\bullet$ La somma $f + g$ e il prodotto $f\cdot g$ sono funzioni derivabili e vale

$\begin{aligned} (f+g)'(x) =& f'(x)+g'(x), \qquad \forall x \in A,\\ (f\cdot g)'(x) =& f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x), \qquad \forall x \in A. \end{aligned}$

$\bullet$ Il quoziente $\frac{f}{g}$ è derivabile nell’insieme $A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}$ e vale

$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \qquad \forall x \in A^*.$

$\bullet$ Siano $f\colon A \to \mathbb{R}$ e $g\colon B \to \mathbb{R}$ funzioni tali che $f(A) \subseteq B$ . Se $f$ è derivabile in $x_0\in A$ e $g$ è derivabile in $y_0 \coloneqq f(x_0)$ , allora la funzione composta $g \circ f$ è derivabile in $x_0$ e vale

$(g \circ f)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g'(f(x_0)).$

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ .

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni $f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , dove $D$ rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati $A$ . In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

$\begin{aligned} 1. & \quad f(x)=\dfrac{1}{2^x -1}, \qquad A=[-1,2];\\ 2. & \quad f(x) = \sqrt{\dfrac{1}{x -1}}, \qquad A=[1,2];\\ 3. & \quad f(x) = \ln(x+1), \qquad A=[1,3]; \\ 4. & \quad f(x) = \dfrac{5x}{x^2-1}, \qquad A=[2,7].\\ \end{aligned}$

Svolgimento.

1. Studiamo l’espressione

$\begin{equation*} f(x)=\dfrac{1}{2^x-1} \qquad \text{su } A= [-1,2]. \end{equation*}$

Osserviamo che il campo di esistenza della funzione $f$ è dato da tutti i punti di $\mathbb{R}$ esclusi quelli che annullano il denominatore, cioè si deve avere

$2^x - 1 \neq 0 \Longleftrightarrow x \neq 0.$

Poiché $0 \in A$ , segue che $f$ non è definita sull’intervallo dato $A$ e non ha senso chiedersi se le ipotesi del teorema di Weierstrass siano verificate. La funzione $f\colon A\setminus\{0\}\to \mathbb{R}$ è rappresentata in figura 1.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 1.

2. Studiamo l’espressione

$\begin{equation*} f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x-1}} \qquad \text{su } A= [1,2]. \end{equation*}$

Calcoliamo il campo di esistenza della funzione $f$ , dato da tutte le $x\in \mathbb{R}$ tali che

$\dfrac{1}{x-1}>0 \Longleftrightarrow x>1 .$

Segue che $f$ non è definita sull’intervallo dato $A$ e non ha senso chiedersi se le le ipotesi del teorema di Weierstrass siano verificate. La funzione $f\colon (1,2]\to \mathbb{R}$ è rappresentata in figura 2.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 2: rappresentazione della funzione dell’esercizio 2.

3. Studiamo l’espressione

$\begin{equation*} f(x)=\ln(x+1) \qquad \text{su } A= [1,3]. \end{equation*}$

Il campo di esistenza della funzione è $(-1,+\infty)$ , dunque la funzione è ben definita nell’intervallo chiuso e limitato $A$ dato. Inoltre, la funzione è continua in $(-1,+\infty)$ per la proposizione 1 e dunque è continua in $A\subset (-1,+\infty)$ . Segue che le ipotesi del teorema di Weirstrass sono verificate e dunque $f$ ammette massimo e minimo assoluti. La funzione $f$ è rappresentata in figura 3.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 3: rappresentazione della funzione dell’esercizio 3.

Si noti che la funzione è strettamente crescente poiché composizione di funzioni strettamente crescente, dunque assume minimo in $x=1$ e massimo in $x=3$ , da cui

$\min_{A}f(x) = f(1)= \ln(2), \qquad \max_{A}f(x)=f(3)=\ln(4).$

4. Studiamo l’espressione

$\begin{equation*} f(x)=\dfrac{5x}{x^2-1} \qquad \text{su } A= [2,7]. \end{equation*}$

Il campo di esistenza della funzione $f$ è dato da tutti i punti $x\in \mathbb{R}$ che non annullano il denominatore, cioè si deve avere

$x^2-1 \neq 0 \Longleftrightarrow x\neq \pm 1.$

Segue dunque che la funzione $f$ è ben definita sull’intervallo chiuso e limitato $A$ ed inoltre essa è continua in quanto rapporto di funzioni continue per la proposizione 2. Sono dunque verificate le ipotesi del teorema di Weirstrass e quindi $f$ ammette massimo e minimo assoluti. La funzione $f$ è rappresentata in figura 4.

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 4: rappresentazione della funzione dell’esercizio 4.

La funzione $f$ è derivabile per la proposizione 3, dunque si può utilizzare il teorema di Fermat per trovare i massimi e minimi locali di $f$ . Per la proposizione 3 si ha che

$f'(x) = \dfrac{5(x^2-1) - 5x(2x)}{(x^2-1)^2}= -\dfrac{5(x^2 +1)}{(x^2-1)^2}.$

Poiché la derivata prima di $f$ non ammette zeri, segue che i punti di massimo e minimo di $f$ sono i punti estremi del dominio. Si ha

$f(2) =\dfrac{10}{3}, \quad f(7) = \dfrac{35}{48} \quad \Longrightarrow \quad \max_{A}f(x)= f(2)= \dfrac{10}{3}, \quad \min_{A} f(x) =f(7)= \dfrac{35}{48}.$

Alessio Fulvi

2024-07-17

Un sito molto utile, professionale e chiaro, che approfondisce vari argomenti. Ho utilizzato questo sito per prepararmi a diversi esami, lo stesso mi ha fornito di strumenti adatti e specifici, permettendomi di colmare lacune che mi portavo avanti dai tempi del liceo. Il sito web è adatto ad una ricerca e risoluzione rapida di ogni quesito inerente alle materie trattate, facile ed intuitivo da utilizzare. Grazie e ben fatto.

Diego Aracri

2024-07-09

ho trovato questo sito mentre preparavo analisi 1 ed ho deciso di consultarlo. mi sono trovato benissimo, ha molto materiale da consultare, sia teorico che pratico, e ogni esercizio è spiegato nei minimi dettagli. consigliatissimo, dubito che altrimenti avrei passato l'esame!

Alessandro Morra

2024-06-20

Grazie, molto rigoroso e chiaro

martina toro

2024-06-13

Sito meraviglioso! Ho scoperto per caso questo sito perché cercavo le soluzioni degli esercizi di Fisica del libro "Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde" del Mazzoldi. Riescono a spiegare in modo chiaro ed esaustivo come si svolgono i problemi. Sono un'ottima risorsa per chi sta affrontando per la prima volta gli esercizi, ma anche per chi ha già una preparazione e vuole chiarire alcuni dubbi. Inoltre sono molto gentili e disponibili. Veramente un'ottima scoperta, consiglio a tutti.

Ugo Cozzi

2024-06-02

Uno dei più bei siti online di matematica e fisica. Dispense ben fatte. Impaginazione perfetta con Latex

antonio elia

2024-05-29

Sito ben fatto e con tanto materiale consultabile, sono cinquantenne autodidatta, ed ho trovato un valido aiuto

Francesco Doria

Un sito bellissimo sia per chi è all'università che alle superiori. Un lavoro fatto con passione e lungo, decisamente da tenere sempre in mente come riferimento, e non solo per gli esercizi. Un grande grazie.

Stefano Parisi

Un sito ben fatto, moltissimi argomenti trattati a diversi livelli di difficoltà, ottimo sia per la teoria che per gli esercizi.

50% di sconto su tutto fino al 31/12/2024

Menu

Chiudi