Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate 1

Esercizi sul teorema di Weierstrass con l'uso delle derivate

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le loro dimostrazioni e per ulteriori approfondimenti si rimanda alle dispense sulle funzioni continue e alla dispensa di teoria sul calcolo differenziale.
 

Definzione 1 – Massimi e minimi assoluti.

Sia f \colon A \subset\mathbb{R} \to \mathbb{R} una funzione. M\in \mathbb{R} si dice massimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= M \qquad \text{e} \qquad f(x)\le M \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo M = \max_A f e x_0 si dice punto di massimo per f.

Analogamente, m\in \mathbb{R} si dice minimo di f in A se esiste x_0\in A tale che

    \[f(x_0)= m \qquad \text{e} \qquad f(x)\ge m \quad \forall x \in A.\]

In tal caso scriviamo m=\min_A f e x_0 si dice punto di minimo per f.

 
Un punto x_0 può non essere di massimo o di minimo assoluto per f, ma può esserlo se restringiamo f a un intorno di x_0. Ciò produce le seguenti definizioni.

Definizione 2 – Massimi e minimi locali.

Sia f\colon A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione. x_0\in A si dice punto di massimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

Analogamente, x_0\in A si dice punto di minimo locale per f se esiste \delta >0 tale che

    \[f(x) \ge f(x_0) \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta).\]

 

Teorema di Weierstrass. 

Siano a, b \in \mathbb{R}, con a \leq b e sia f\colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione continua. Allora f ammette massimo e minimo assoluti in [a,b], ovvero esistono x_m, \, x_M \in [a,b] tali che

    \[ f(x_m)\leq f(x) \leq f(x_M) \qquad \forall x \in [a,b] . \]

 
Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 1.

Valgono le seguenti proprietà:
\bullet Ogni funzione polinomiale P \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua.
\bullet La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua.
\bullet Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua.
\bullet Sia n \in \mathbb{N}. La funzione f\colon [0,+\infty]\to [0,+\infty], se n è pari, o la funzione f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}, se n è dispari, definita da f(x)=\sqrt[n]{x} è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x) = \arcsin x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon[-1,1]\to \left[0,\pi\right] definita da f(x) = \arccos x per x \in [-1,1] è continua.
\bullet La funzione f \colon \mathbb{R} \to \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] definita da f(x)=\arctan x per x \in \mathbb{R} è continua.

 
Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 2.

Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue. Allora
\bullet La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni continue.
\bullet Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}.
\bullet Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0.
\bullet Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua.

 
Il seguente risultato ci permette di identificare i punti di massimo o minimo locale per funzioni derivabili
e sarà un utile strumento per la risoluzione degli esercizi della dispensa.

Teorema di Fermat.

Sia f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} e sia x_0\in (a,b). Supponiamo che f sia derivabile in x_0 e che x_0 sia un punto di massimo o minimo locale per f. Allora f'(x_0)=0.

 
Da questo risultato segue dunque che i punti di massimo o minimo di una funzione f \colon [a,b] \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} sono da ricercare tra i punti interni stazionari e negli estremi dell’intervallo.
Riassumiamo infine i risultati sulla derivabilità delle operazioni tra funzioni derivabili:

Proposizione 3.

Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon  A \to \mathbb{R} due funzioni derivabili. Valgono le seguenti proprietà:
\bullet La somma f + g e il prodotto f\cdot g sono funzioni derivabili e vale

    \[\begin{aligned} 				(f+g)'(x) =& f'(x)+g'(x), \qquad \forall x \in A,\\ 				(f\cdot g)'(x) =& f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x), \qquad \forall x \in A. 			\end{aligned}\]

\bullet Il quoziente \frac{f}{g} è derivabile nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\} e vale

    \[\left(\frac{f}{g}\right)'(x) =  \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} \qquad \forall x \in A^*.\]

\bullet Siano f\colon  A \to  \mathbb{R} e g\colon  B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è derivabile in x_0\in A e g è derivabile in y_0 \coloneqq f(x_0), allora la funzione composta g \circ f è derivabile in x_0 e vale

    \[(g \circ f)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g'(f(x_0)).\]

 

Testi degli esercizi

Esercizio 1   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Stabilire se le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate per le seguenti funzioni f \colon D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}, dove D rappresenta il campo di esistenza di ciascuna funzione, negli intervalli dati A. In caso affermativo, calcolarne massimo e minimo assoluti.

    \[\begin{aligned} 1. & \quad  f(x)=\dfrac{1}{2^x -1}, \qquad A=[-1,2];\\ 2. & \quad  f(x) = \sqrt{\dfrac{1}{x -1}}, \qquad A=[1,2];\\ 3. & \quad f(x) = \ln(x+1), \qquad A=[1,3]; \\ 4. & \quad f(x) = \dfrac{5x}{x^2-1}, \qquad A=[2,7].\\ \end{aligned}\]

 
Svolgimento.

1. Studiamo l’espressione

    \begin{equation*} 		f(x)=\dfrac{1}{2^x-1} \qquad \text{su } A= [-1,2]. 	\end{equation*}

Osserviamo che il campo di esistenza della funzione f è dato da tutti i punti di \mathbb{R} esclusi quelli che annullano il denominatore, cioè si deve avere

    \[2^x - 1 \neq 0 \Longleftrightarrow x \neq 0.\]

Poiché 0 \in A, segue che f non è definita sull’intervallo dato A e non ha senso chiedersi se le ipotesi del teorema di Weierstrass siano verificate. La funzione f\colon A\setminus\{0\}\to \mathbb{R} è rappresentata in figura 1.
 

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Figura 1: rappresentazione della funzione dell’esercizio 1.

 
 

2. Studiamo l’espressione

    \begin{equation*} 		f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x-1}} \qquad \text{su } A= [1,2]. 	\end{equation*}

Calcoliamo il campo di esistenza della funzione f, dato da tutte le x\in \mathbb{R} tali che

    \[\dfrac{1}{x-1}>0 \Longleftrightarrow	x>1	.\]

Segue che f non è definita sull’intervallo dato A e non ha senso chiedersi se le le ipotesi del teorema di Weierstrass siano verificate. La funzione f\colon (1,2]\to \mathbb{R} è rappresentata in figura 2.

 

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Figura 2: rappresentazione della funzione dell’esercizio 2.

 
 

3. Studiamo l’espressione

    \begin{equation*} 		f(x)=\ln(x+1) \qquad \text{su } A= [1,3]. 	\end{equation*}

Il campo di esistenza della funzione è (-1,+\infty), dunque la funzione è ben definita nell’intervallo chiuso e limitato A dato. Inoltre, la funzione è continua in (-1,+\infty) per la proposizione 1 e dunque è continua in A\subset (-1,+\infty). Segue che le ipotesi del teorema di Weirstrass sono verificate e dunque f ammette massimo e minimo assoluti. La funzione f è rappresentata in figura 3.

 

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Figura 3: rappresentazione della funzione dell’esercizio 3.

 

Si noti che la funzione è strettamente crescente poiché composizione di funzioni strettamente crescente, dunque assume minimo in x=1 e massimo in x=3, da cui

    \[\min_{A}f(x) = f(1)= \ln(2), \qquad \max_{A}f(x)=f(3)=\ln(4).\]

 

4. Studiamo l’espressione

    \begin{equation*} 		f(x)=\dfrac{5x}{x^2-1} \qquad \text{su } A= [2,7]. 	\end{equation*}

Il campo di esistenza della funzione f è dato da tutti i punti x\in \mathbb{R} che non annullano il denominatore, cioè si deve avere

    \[x^2-1 \neq 0 \Longleftrightarrow x\neq \pm 1.\]

Segue dunque che la funzione f è ben definita sull’intervallo chiuso e limitato A ed inoltre essa è continua in quanto rapporto di funzioni continue per la proposizione 2. Sono dunque verificate le ipotesi del teorema di Weirstrass e quindi f ammette massimo e minimo assoluti. La funzione f è rappresentata in figura 4.

 

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Figura 4: rappresentazione della funzione dell’esercizio 4.

 

La funzione f è derivabile per la proposizione 3, dunque si può utilizzare il teorema di Fermat per trovare i massimi e minimi locali di f. Per la proposizione 3 si ha che

    \[f'(x) = \dfrac{5(x^2-1) - 5x(2x)}{(x^2-1)^2}= -\dfrac{5(x^2 +1)}{(x^2-1)^2}.\]

Poiché la derivata prima di f non ammette zeri, segue che i punti di massimo e minimo di f sono i punti estremi del dominio. Si ha

    \[f(2) =\dfrac{10}{3}, \quad f(7) = \dfrac{35}{48} \quad \Longrightarrow \quad \max_{A}f(x)= f(2)= \dfrac{10}{3}, \quad \min_{A} f(x) =f(7)= \dfrac{35}{48}.\]