Esercizi sull’uniforme continuità – volume 2

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Benvenuti nel secondo volume di esercizi svolti sull’uniforme continuità. Questo articolo, naturale prosecuzione di Esercizi sull’uniforme continuità – volume 1, consiste in 22 esercizi completamente risolti su questo argomento, per rafforzare ulteriormente la conoscenza acquisita nel primo volume.
La raccolta è quindi utile agli studenti dei corsi di Analisi Matematica 1 che desiderano affrontare problemi di natura teorica e pratica su questo importante argomento. Buona lettura!

Consigliamo le seguenti raccolte di problemi:

Segnaliamo inoltre il seguente materiale teorico, di cui si può trovare una lista dettagliata alla fine dell’articolo:

Autori e revisori dell’articolo: Esercizi svolti sull’uniforme continuità

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Autori: Chiara Bellotti.

Revisori: Valerio Brunetti, Matteo Talluri.

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Testi degli esercizi

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Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ due funzioni uniformemente continue. Allora $f+g$ è necessariamente uniformemente continua?

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Svolgimento.

La risposta è affermativa.\Infatti, fissato $\epsilon>0$ , cerchiamo $\delta>0$ tale che per ogni $x,y\in\mathbb{R}$ , con $|x-y|<\delta$ , si abbia

$|f(x)+g(x)-f(y)-g(y)|<\epsilon.$

Essendo per ipotesi sia $f$ che $g$ uniformemente continue, esistono rispettivamente $\delta_{1}>0$ e $\delta_{2}>0$ tali che

$|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2}\quad\text{se }|x-y|<\delta_{1},$

$|g(x)-g(y)|<\frac{\epsilon}{2}\quad\text{se }|x-y|<\delta_{2}.$

Scegliendo

$\delta<\min\{\delta_{1},\delta_{2}\},$

si ottiene, per la disuguaglianza triangolare, che

$|f(x)+g(x)-f(y)-g(y)|\leq|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$

Possiamo quindi concludere che $f+g$ è uniformemente continua.

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Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ due funzioni uniformemente continue. Allora $fg$ è necessariamente uniformemente continua?

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Svolgimento.

La risposta è negativa.Vediamo un controesempio. Consideriamo le funzioni

$f(x)=g(x)=x.$

Osserviamo che $f,g$ sono uniformemente continue su $\mathbb{R}$ , ma $(f\cdot g)(x)=x^{2}$ non è uniformemente continua su $\mathbb{R}$ . Infatti, prese due successioni

$x_{n}=n,\quad y_{n}=n+\frac{1}{n},$

si ha

$|x_{n}-y_{n}|=\frac{1}{n}$

$\left|x_n^2-y_n^2\right|=\left|\left(x_n-y _n\right)\left(x_n+y_n\right)\right|=\frac{1}{n}\left(2 n+\frac{1}{n}\right)=2+\frac{1}{n^2}>2.$

Facendo il limite per $n\rightarrow +\infty$ vediamo che $|x_{n}-y_{n}| \to 0$ mentre $\left|x_n^2-y_n^2\right| \not\to 0$ , dunque si può concludere che $fg$ non è uniformemente continua.

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Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $f,g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ due funzioni uniformemente continue. Allora $f\circ g$ è necessariamente uniformemente continua?

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