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Limiti di successioni – Esercizi con i polinomi di Taylor

Limiti di successione con Taylor

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In questo articolo presentiamo 29 esercizi sui limiti di successioni numeriche, calcolati mediante l’utilizzo dei polinomi di Taylor. Gli esercizi sono completamente svolti, per offrire una comprensione completa delle tecniche e strategie utilizzate. Questo articolo è quindi particolarmente indicato per chi desidera approfondire la sua conoscenza dei limiti di successioni e dell’approssimazione di Taylor, oltre alla loro interazione nella soluzione di problemi di vario grado di difficoltà.

Oltre alle raccolte di esercizi

segnaliamo anche il materiale teorico di riferimento:

Buona lettura!

 

Sommario

Leggi...

Questa dispensa offre una collezione di 30 esercizi svolti sui limiti di successioni, con un’attenzione particolare all’applicazione del polinomio di Taylor. Gli esercizi, dettagliati e accuratamente spiegati, costituiscono un valido strumento didattico per studenti di ingegneria, fisica e matematica nell’ambito del corso di Analisi 1. La selezione comprende esercizi di varia complessità, dai più semplici ai più impegnativi, strutturati in modo da favorire una progressiva acquisizione delle competenze. Al termine dello studio, lo studente sarà in grado di padroneggiare le tecniche fondamentali per risolvere problemi sui limiti di successioni utilizzando il polinomio di Taylor, acquisendo così una solida preparazione teorica e pratica.

 

Autori e revisori

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Autore: Valerio Brunetti.  

Revisori: Matteo Talluri, Giulio Binosi.  


 

Testi degli esercizi

 

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

    \[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}-n!\right)(n+1)!}{(n+1)^3\ln \left(\frac{n+3}{n+2}\right)+(n+3)^{\frac{1}{n}}}.\]

Svolgimento.

Osserviamo che

    \[(n+1)!=(n+1)n!\]

e

    \[\sqrt{\left(n!\right)^2-13n}-n!=n!\left(\sqrt{1-\dfrac{13n}{(n!)^2}}-1\right)=n!\left(-\dfrac{13n}{2(n!)^2}+o\left(\dfrac{n}{(n!)^2}\right)\right)\quad \text{per}\,\,n\to+\infty\]

da cui sviluppando il cubo di binomio al denominatore si ha

(1)   \begin{align*} I&=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}-n!\right)(n+1)!}{(n+1)^3\ln \left(\frac{n+3}{n+2}\right)+(n+3)^{\frac{1}{n}}}\\ &=\lim_{n} \dfrac{n!\left(-\frac{13}{2}\cdot \frac{n}{(n!)^2}+o(1) \right)(n+1)!}{n^3\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)+3n^2\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)+3n\ln \left(1+\frac{1}{(n+2)} \right)+\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)+1+o(1)} \end{align*}

in quanto

    \[(n+3)^{\frac{1}{n}}= e^{\frac{1}{n} \ln(n+3)} = 1 + o(1) \quad \mbox{ per } n \to +\infty.\]

Ora notiamo che per n\to+\infty si ha

(2)   \begin{align*} &n^3\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)+3n^2\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)+3n\ln \left(1+\frac{1}{(n+2)} \right)+\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)+1+o(1)=\\ &=n^3\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)\left(1+o(1)\right)=\dfrac{n^3}{n+2}\left(1+o(1)\right)=\dfrac{n^3}{n}\left(1+o(1)\right) \end{align*}

cioè

(3)   \begin{align*} I&=\lim_{n}\dfrac{-\frac{13}{2}\dfrac{n}{n!}\left(n+1\right)n!}{n^2}\left(1+o(1)\right)=\\ &= - \lim_{n} \dfrac{13}{2}\cdot\dfrac{n^2+n}{n^2}\left(1+o(1)\right)=\\ &=-\dfrac{13}{2}. \end{align*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}-n!\right)(n+1)!}{(n+1)^3\ln \left(\frac{n+3}{n+2}\right)+(n+3)^{\frac{1}{n}}}=-\dfrac{13}{2}.}\]

 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

    \[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt{n^n}+(n+3)^{n+1}-(n-3)^{n-1}-e^3n^{n+1}}{n^n}.\]

Svolgimento.

Procediamo come segue

(4)   \begin{align*} &\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt{n^n}+(n+3)^{n+1}-(n-3)^{n-1}-e^3n^{n+1}}{n^n}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\sqrt{n^n}}{n^n}+\dfrac{(n+3)^{n+1}}{n^n}-\dfrac{(n-3)^{n-1}}{n^n}-\dfrac{e^3n^{n+1}}{n^n}\right)\overset{\clubsuit}{=}\\ &\overset{\clubsuit}{=}\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{(n+3)^{n+1}}{n^n}-\dfrac{(n-3)^{n-1}}{n^n}-\dfrac{e^3n^{n+1}}{n^n}+o(1)\right)\overset{\star}{=}\\ &\overset{\star}{=}\lim_{n} \left(n \left( 1+\dfrac{3}{n}\right)^{n+1}-n^{-1} \left(1-\dfrac{3}{n} \right)^{n-1}-e^3n+o(1) \right)\overset{\bigstar}{=}\\ &\overset{\bigstar}{=}\lim_{n} \left(n\cdot e^{n\log\left( 1+\frac{3}{n}\right)}\left( 1+\dfrac{3}{n}\right) -n^{-1}e^{n\log\left( 1-\frac{3}{n}\right)}\left( 1-\dfrac{3}{n}\right)^{-1}-e^3n+o(1) \right)\overset{\heartsuit}{=}\\ &\overset{\heartsuit}{=}\lim_{n} \left(n\cdot e^{n\left( \frac{3}{n}-\frac{9}{2n^2}+o \left(\frac{1}{n^2} \right)\right)} \left( 1+\dfrac{3}{n}\right)-n^{-1}e^{n \left(\frac{-3}{n}+o \left(\frac{1}{n} \right) \right)} \dfrac{n}{n-3}-e^3n+o(1) \right)= \\ &=\lim_{n} \left(n\cdot e^{\left(3-\frac{9}{2n}+o\left(\frac{1}{n} \right) \right)} \left( 1+\dfrac{3}{n}\right)-\dfrac{1}{n-3}e^{-3+o(1)}-e^3n+o(1) \right)=\\ &=\lim_{n} \left(n(e^3)e^{-\frac{9}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n} \right)}\left( 1+\dfrac{3}{n}\right) -\dfrac{e^{-3}}{n}+o\left(\dfrac{1}{n} \right)-e^3n+o(1) \right)=\\ &=\lim_{n} \left(n\cdot e^3 \left(1-\dfrac{9}{2n}+o \left(\dfrac{1}{n}\right)\right) \left(1+\dfrac{3}{n}\right)-e^3n-\dfrac{e^{-3}}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right) \right)=\\ &=\lim_{n}\left(n\cdot e^3 \left(1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{9}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) -e^3n+o(1)\right)=\\ &=\lim_{n}\left(-\dfrac{3}{2}e^3+o(1)\right)=-\dfrac{3}{2}e^3 \end{align*}

dove in \clubsuit abbiamo osservato che \frac{\sqrt[n]{n}}{n^n}=o(1)\,\,\text{per}\,\,n\to+\infty, in \star abbiamo operato come segue

    \[\dfrac{\left(n+3\right)^{n+1}}{n^n}=\dfrac{\left(n+3\right)^{n+1}}{n^{n+1-1}}=\dfrac{\left(n+3\right)^{n+1}}{n^{n+1}\cdot n^{-1}}=n\cdot \left(\dfrac{n+3}{n}\right)^{n+1}=n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)^{n+1}\]

e

    \[\dfrac{\left(n-3\right)^{n-1}}{n^n}=\dfrac{\left(n-3\right)^{n-1}}{n^{n-1+1}}=\dfrac{\left(n-3\right)^{n-1}}{n^{n-1}\cdot n}=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{n-3}{n}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{n}\left(1-\dfrac{3}{n}\right)^{n-1},\]

in \bigstar abbiamo riscritto

    \[n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)^{n+1}=n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)^n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)=n\,e^{ n\ln\left(1+\frac{3}{n}\right)}\left(1+\dfrac{3}{n}\right)\]

e

    \[n^{-1} \left(1-\dfrac{3}{n} \right)^{n-1}=n^{-1}\left(1-\dfrac{3}{n}\right)^n\left(1-\dfrac{3}{n}\right)^{-1}=n^{-1}e^{n\ln\left(1-\frac{3}{n}\right)}\left(1-\dfrac{3}{n}\right)^{-1},\]

in \heartsuit abbiamo sviluppato in serie come segue

    \[n\,e^{ n\ln\left(1+\frac{3}{n}\right)}\left(1+\dfrac{3}{n}\right)=n\cdot e^{n\left( \frac{3}{n}-\frac{9}{2n^2}+o \left(\frac{1}{n^2} \right)\right)} \left( 1+\dfrac{3}{n}\right)\]

e

    \[n^{-1}e^{n\ln\left(1-\frac{3}{n}\right)}\left(1-\dfrac{3}{n}\right)^{-1}=n^{-1}e^{n \left(\frac{-3}{n}+o \left(\frac{1}{n} \right) \right)} \dfrac{n}{n-3},\]

nei passaggi successivi abbiamo ragionato in modo analogo ai passaggi illustrati in precedenza ovvero sviluppato in serie e fatto varie semplificazioni1.

Concludiamo dunque

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt{n^n}+(n+3)^{n+1}-(n-3)^{n-1}-e^3n^{n+1}}{n^n}=-\dfrac{3}{2}e^{3}.}\]

   

    \[\]

  1. Lasciamo la verifica al lettore. ↩

 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

    \[\lim_{n\to+\infty} \dfrac{2(n+2)^n(n+1)!\left(1-\cos \frac{1}{\sqrt{n!}}\right)}{7n^{n+1}-2^{n+1}+\tan^{-1}((n+4)!)}.\]

Svolgimento.

Elenchiamo alcuni fatti che ci serviranno nel calcolo del limite

 

  1.     \[\arctan\left(\left(n+4\right)!\right)=\dfrac{\pi}{2}+o(1)\quad \text{per} \quad n \to +\infty\]

  2.     \[(n+1)! = (n+1)n!\]

  3.     \[1-\cos\left(\dfrac{1}{\sqrt{n!}}\right)=\dfrac{1}{2n!}+o\left(\dfrac{1}{n!}\right)\quad \text{per}\,\,n\to +\infty\]

  4.     \[(n+2)^n=n^n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^n=n^ne^{2}+o(1)\quad \text{per}\,\,n\to+\infty.\]

Abbiamo dunque

(5)   \begin{align*} \quad &\lim_{n\to+\infty} \dfrac{2(n+2)^n(n+1)!\left(1-\cos \frac{1}{\sqrt{n!}}\right)}{7n^{n+1}-2^{n+1}+\tan^{-1}((n+4)!)}=\\ &=\lim_{n}\dfrac{2n^n\left(1+\frac{2}{n}\right)^n(n+1)n! \left(1-1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n!}+o\left(\frac{1}{n!} \right) \right)}{7n^nn-2^n\cdot 2+\frac{\pi}{2}+o(1)}=\\ &=\lim_{n}\dfrac{n^ne^{2+o(1)}n}{7n^nn}(1+o(1))=\dfrac{e^2}{7}. \end{align*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\to+\infty} \dfrac{2(n+2)^n(n+1)!\left(1-\cos \frac{1}{\sqrt{n!}}\right)}{7n^{n+1}-2^{n+1}+\tan^{-1}((n+4)!)}=\dfrac{e^2}{7}.}\]

 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

    \[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{3(n!)+(en)^n+(5\sqrt[3]{n+2})^n}{\left[(n+1) \left(1+\frac{1}{n}\right)^n+1 \right]^n}.\]

Svolgimento.

Osserviamo che il numeratore può essere riscritto come segue

(6)   \begin{align*} 3(n!)+(en)^n+(5\sqrt[3]{n+2})^n&=3n!+e^nn^n+5^n\left(n+2\right)^{\frac{n}{3}}=\\ &=e^nn^n\left(1+o\left(1\right)\right)\quad \text{per}\,\,n\to+\infty \end{align*}

e il denominatore come segue

(7)   \begin{align*} \left[(n+1) \left(1+\frac{1}{n}\right)^n+1 \right]^n=\underbrace{(n+1)^n}_{a_n}\underbrace{\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n^2}}_{b_n} \underbrace{\left(1+\frac{1}{(n+1)\left(1+\frac{1}{n} \right)^n} \right)^n}_{c_n}. \end{align*}

Per n\to+\infty si ha

(8)   \begin{align*} &a_n=n^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=n^ne^{n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}=n^ne^{n\left(\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)}=n^ne^{1+o(1)}\\ &b_n=e^{n^2\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}=e^{n^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)}=e^{n-\frac{1}{2}+o(1)}=e^ne^{-\frac{1}{2}+o(1)}\\ &c_n=e^{n\ln\left(1+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\right)}=e^{n\ln\left(1+\frac{1}{ne}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)}=e^{n\left( \frac{1}{ne}+o\left(\frac{1}{ne}\right)\right)}=e^{\frac{1}{e}+o(1)} \end{align*}

da cui

(9)   \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\dfrac{3(n!)+(en)^n+(5\sqrt[3]{n+2})^n}{\left[(n+1) \left(1+\frac{1}{n}\right)^n+1 \right]^n}&=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{e^nn^n}{\left(n^ne^{1+o(1)}\right)\left(e^ne^{-\frac{1}{2}+o(1)}\right)\left(e^{\frac{1}{e}+o(1)}\right)}=\\ &=\dfrac{1}{e\cdot e^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{\frac{1}{e}}}=e^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{e}}. \end{align*}

Concludiamo dunque

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to\infty}\dfrac{3(n!)+(en)^n+(5\sqrt[3]{n+2})^n}{\left[(n+1) \left(1+\frac{1}{n}\right)^n+1 \right]^n}=e^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{e}}. }\]

 

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

    \[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\left(1+\left(\frac{\ln n}{n} \right)^2 \right)^{-3\sqrt{2}}(n\sqrt[n]{\ln n})}{\left(\frac{1}{n^3}\sin^2 \left(\frac{\sqrt{n}}{\ln n} \right)-\frac{1}{n^2} \right) ((\ln n)^n-\ln(1+n))}.\]

Svolgimento.

Per il numeratore, per n \to +\infty abbiamo

    \[\left(1+\left(\frac{\ln n}{n} \right)^2 \right)^{-3\sqrt{2}}=1+o(1)\]

e

    \[\sqrt[n]{\ln n}=\left(\ln n\right)^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln\left(\ln n\right)}=1+o(1)\]

cioé

    \[\left(1+\left(\frac{\ln n}{n} \right)^2 \right)^{-3\sqrt{2}}(n\sqrt[n]{\ln n})=n\left(1+o(1)\right).\]

Per il denominatore, per n \to +\infty, si ha che

    \[\left(\frac{1}{n^3}\sin^2 \left(\frac{\sqrt{n}}{\ln n} \right)-\frac{1}{n^2} \right)=\dfrac{1}{n^2}\left(-1+o(1)\right)\]

e

    \[((\ln n)^n-\ln(1+n))=\ln^n n \left(1+o(1)\right)\]

pertanto

    \[\left(\frac{1}{n^3}\sin^2 \left(\frac{\sqrt{n}}{\ln n} \right)-\frac{1}{n^2} \right) ((\ln n)^n-\ln(1+n))=-\dfrac{\ln^n n}{n^2}\left(1+o(1)\right).\]

Torniamo al limite e con i precedenti risultati possiamo scrivere

(10)   \begin{align*} &\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\left(1+\left(\frac{\ln n}{n} \right)^2 \right)^{-3\sqrt{2}}(n\sqrt[n]{\ln n})}{\left(\frac{1}{n^3}\sin^2 \left(\frac{\sqrt{n}}{\ln n} \right)-\frac{1}{n^2} \right) ((\ln n)^n-\ln(1+n))}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n \left(1+o\left(1\right)\right)}{-\frac{\ln^n n}{n^2} \left(1+o\left(1\right)\right)}=\\ &= -\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^3}{\ln^n n}\left(1+o\left(1\right)\right)=\\ &=-\lim_{n\to+\infty}\dfrac{e^{3\ln n }}{e^{n\ln\left(\ln n \right)}}\left(1+o\left(1\right)\right) = 0. \end{align*}

Concludiamo dunque

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\left(1+\left(\frac{\ln n}{n} \right)^2 \right)^{-3\sqrt{2}}(n\sqrt[n]{\ln n})}{\left(\frac{1}{n^3}\sin^2 \left(\frac{\sqrt{n}}{\ln n} \right)-\frac{1}{n^2} \right) ((\ln n)^n-\ln(1+n))}=0. }\]

 

Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

    \[\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \dfrac{(2n+1)^{2n}+(n^2+2n)^n}{(4n^2+3n)^n-(-n\ln n +n^2)^n}.\]

Svolgimento.

Riscriviamo il limite come segue

    \[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{(2n+1)^{2n}+(n^2+2n)^n}{(4n^2+3n)^n-(-n\ln n +n^2)^n} = \lim_{n\to+ \infty} \dfrac{\cancel{n^{2n}} \left[ \left(2+\dfrac{1}{n} \right)^{2n}+\left(1+\dfrac{2}{n} \right)^n \right]} {\cancel{n^{2n}} \left[ \left(4+\dfrac{3}{n} \right)^n- \left(- \dfrac{\ln n }{n}+1 \right)^n \right]}.\]

Osserviamo che per n\to+\infty valgono i seguenti sviluppi

(11)   \begin{align*} & \left(2+\dfrac{1}{n} \right)^{2n}=2^{2n} \left(1+\dfrac{1}{2n} \right)^{2n}=2^{2n}e^{1+o(1)}=4^{n}e^{1+o(1)}\\ &\left(1+\dfrac{2}{n} \right)^n=e^{2+o(1)}\\ &\left( 4+\dfrac{3}{n} \right)^n=4^n \left(1+\dfrac{3}{4n} \right)^n=4^n \cdot e^{\frac{3}{4}+o(1)}\\ & \left( -\dfrac{\ln n }{n}+1 \right)^n=e^{n\ln\left(1-\frac{\ln n }{n}\right)}=e^{n\left(-\frac{\ln n}{n}-\frac{1}{2}\frac{\ln^2 n}{n^2}+o\left(\frac{\ln^2 n}{n^2}\right)\right)}=\\ & \qquad \qquad = e^{-\ln n}\cdot e^{-\frac{\ln n}{2n}+o\left(\frac{\ln n }{n}\right)}=\dfrac{1}{n}\left(1+o\left(1\right)\right) \end{align*}

da cui

    \[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{(2n+1)^{2n}+(n^2+2n)^n}{(4n^2+3n)^n-(-n\ln n +n^2)^n}= \lim_{n\to +\infty}\dfrac{4^{n}e^{1+o(1)}+e^{2+o(1)}}{4^n\cdot e^{ \frac{3}{4}+o(1)}-\frac{1}{n}} \overset{*}{=} \dfrac{e}{e^{\frac{3}{4}}}= e^{\frac{1}{4}}\]

dove in * abbiamo raccolto 4^n al numeratore e al denominatore, dunque concludiamo che il limite esiste ed è finito e vale

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\to+ \infty} \dfrac{(2n+1)^{2n}+(n^2+2n)^n}{(4n^2+3n)^n-(-n\ln n +n^2)^n}= e^{\frac{1}{4}}.}\]

 

Esercizio 7 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

    \[\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( \dfrac{(n^3-3n^2)(n^2+2)}{(n-2)(n^4+n^3)}\right) ^n.\]

Svolgimento.

Riscriviamo il limite come segue

(12)   \begin{align*} \lim_{n\to \infty} \left( \dfrac{(n^3-3n^2)(n^2+2)}{(n-2)(n^4+n^3)}\right) ^n &= \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left(\dfrac{n^5+2n^3-3n^4-6n^2}{n^5-n^4-2n^3}\right)^n=\\ & = \lim_{n\to\infty} \left( \dfrac{n^5-n^4-2n^3}{n^5-n^4-2n^3}+ \dfrac{4n^3-2n^4-6n^2}{n^5-n^4-2n^3} \right)^n =\\ &= \lim_{n\to\infty} \left( 1+ \dfrac{4n^3-2n^4-6n^2}{n^5-n^4-2n^3} \right)^n=\\ & = \lim_{n\to\infty}e^{\displaystyle n\ln\left(1+ \frac{4n^3-2n^4-6n^2}{n^5-n^4-2n^3}\right)}. \end{align*}

Osserviamo che

    \[\frac{4n^3-2n^4-6n^2}{n^5-n^4-2n^3}=-\dfrac{2n^4}{n^5}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)=-\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\]

da cui

    \[\ln\left(1+ \frac{4n^3-2n^4-6n^2}{n^5-n^4-2n^3}\right)=\ln\left(-\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\]

e applicando lo sviluppo del logaritmo per n\to+\infty si ha

    \[\ln\left(1-\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)=\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\]

pertanto segue che

    \[\lim_{n\to\infty}e^{\displaystyle n\ln\left(1+ \frac{4n^3-2n^4-6n^2}{n^5-n^4-2n^3}\right)}=\lim_{n\to+\infty}e^{\displaystyle n\left(\dfrac{2}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)}=\dfrac{1}{e^2}.\]

Dunque concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\to \infty} \left( \dfrac{(n^3-3n^2)(n^2+2)}{(n-2)(n^4+n^3)}\right) ^n=\dfrac{1}{e^2}. }\]

 

Esercizio 8 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

    \[\lim_{n\to+\infty}(7(6^{\frac{1}{3}}n)^{3n}-7^{3n}+(n+1)!)\left(\dfrac{1}{n}-\sin \dfrac{1}{n} \right)^n.\]

Svolgimento.

Per n\to +\infty si ha

(13)   \begin{align*} 7(6^{\frac{1}{3}}n)^{3n}-7^{3n}+(n+1)!&=7(6^{\frac{1}{3}}n)^{3n} - 7^{3n}+(n+1)!=\\ &=7(6^{\frac{1}{3}}n)^{3n}\left(1-\dfrac{7^{3n}}{7(6^{\frac{1}{3}}n)^{3n}}+\dfrac{(n+1)!}{7(6^{\frac{1}{3}}n)^{3n}}\right)=\\ &=7\cdot6^nn^{3n}\left(1+o(1)\right) \end{align*}

e

(14)   \begin{align*} \left(\dfrac{1}{n}-\sin \dfrac{1}{n} \right)^n&=\left(\dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{6n^3}-\dfrac{1}{120n^5}+o\left(\dfrac{1}{n^5}\right) \right)^n=\\ &=\dfrac{1}{6^nn^{3n}}\left(1-\dfrac{6n^3}{120n^5}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right)^n=\\ &=\dfrac{1}{6^nn^{3n}}\left(1-\dfrac{1}{20n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right)^n=\\ &=\dfrac{1}{6^nn^{3n}}e^{n\ln\left(1-\frac{1}{20n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)}=\\ &=\dfrac{1}{6^nn^{3n}}e^{n\left(-\frac{1}{20n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)}=\\ &=\dfrac{1}{6^nn^{3n}}e^{-\frac{1}{20n}+o\left(\frac{1}{n}\right)}=\\ &=\dfrac{1}{6^nn^{3n}}\left(1+o\left(1\right)\right) \end{align*}

da cui

(15)   \begin{align*} &\lim_{n\to\infty}(7(6^{\frac{1}{3}}n)^{3n}-7^{3n}+(n+1)!)\left(\dfrac{1}{n}-\sin \dfrac{1}{n} \right)^n=\\ &=\lim_{n\to+\infty}7\cdot6^nn^{3n}\cdot\dfrac{1}{6^nn^{3n}}\left(1+o(1)\right)=7. \end{align*}

Concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\to\infty}(7(6^{\frac{1}{3}}n)^{3n}-7^{3n}+(n+1)!)\left(\dfrac{1}{n}-\sin \dfrac{1}{n} \right)^n=7.}\]

 

Esercizio 9 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite, se esiste:

    \[\lim_{n\to+\infty}\left[\tan\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2}{n} \right) \right]^n.\]

Svolgimento.

Procediamo come segue

(16)   \begin{align*} \lim_{n\to+\infty}\left[\tan\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2}{n} \right) \right]^n\overset{\clubsuit}&{=}\lim_{n\to+\infty}\left[\dfrac{1+\tan \left(\dfrac{2}{n} \right)}{1-\tan \dfrac{2}{n}} \right]^n \overset{\heartsuit}{=}\\ &=\lim_{n\to+\infty} \left[\dfrac{1+\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)}{1-\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)} \right]^n=\\ &=\lim_{n\to+\infty}e^{n\log\left[\left(1+\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right) \right): \left(1-\dfrac{2}{n} +o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) \right]}=\\ &=\lim_{n\to+\infty} e^{n\log\left(1+\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right) \right)-n\log\left(1-\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right) \right)}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}e^{n\left(\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)-n\left(-\dfrac{2}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)}=e^{2+2}=e^4 \end{align*}

dove in \clubsuit abbiamo applicato la formula di somma e sottrazione della tangente, mentre in \heartsuit abbiamo sviluppato in serie \tan\left(\frac{1}{n}\right) \,\,\text{per} \,\,n\to+\infty. Concludiamo dunque

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to+\infty}\left[\tan\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2}{n} \right) \right]^n=e^4. }\]

 

Esercizio 10 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite, se esiste:

    \[\lim_{n\to+\infty} n^2\left(\cos\left(\dfrac{1}{n}-e^{-2n} \right)-n\sin \dfrac{1}{n}\right).\]

Svolgimento.

Applichiamo gli sviluppi di Taylor per n\to+\infty:

(17)   \begin{align*} \cos\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{e^{2n}}\right)=\cos\left(\dfrac{1}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)=1-\dfrac{1}{2n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right) \end{align*}

e

    \[n\sin\left(\dfrac{1}{n}\right)=n\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{6n^3}+o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)\right)=1-\dfrac{1}{6n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\]

da cui

(18)   \begin{align*} \lim_{n\to+\infty} n^2\left(\cos\left(\dfrac{1}{n}-e^{-2n} \right)-n\sin \dfrac{1}{n}\right)&=\lim_{n\to+\infty}n^2\left(1-\dfrac{1}{2n^2}-1+\dfrac{1}{6n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right)=-\dfrac{1}{3}. \end{align*}

Concludiamo dunque

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\to+\infty} n^2\left(\cos\left(\dfrac{1}{n}-e^{-2n} \right)-n\sin \dfrac{1}{n}\right)=-\dfrac{1}{3}.}\]

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 29 limiti di successioni svolti con l’uso del polinomio di Taylor.

 

Esercizio 11 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite, se esiste:

    \[\lim_{n\to+\infty} \left(\dfrac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3} \right)^n\]

con a,b,c>0.

Svolgimento.

Applichiamo gli sviluppi di Taylor per n\to+\infty

(19)   \begin{align*} \lim_{n\to+\infty} \left(\dfrac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3} \right)^n&= \lim_{n\to+\infty} \left(\dfrac{e^{\frac{1}{n}\ln a}+e^{\frac{1}{n}\ln b}+e^{\frac{1}{n}\ln c}}{3} \right)^n=\\ &=\lim_{n\to+\infty} \left(\dfrac{3+\frac{1}{n}\ln a+\frac{1}{n}\ln b+\frac{1}{n}\ln c}{3}+o\left(\dfrac{1}{n}\right) \right)^n=\\ &=\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{\frac{1}{n}\ln a+\frac{1}{n}\ln b+\frac{1}{n}\ln c}{3} +o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^n=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\exp\left(n\ln\left(1+\frac{\frac{1}{n}\ln a+\frac{1}{n}\ln b+\frac{1}{n}\ln c}{3}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\right)=\\ &=\lim_{n\to +\infty}\exp\left(n\left(\dfrac{\ln a}{3n}+\dfrac{\ln b}{3n}+\dfrac{\ln c}{3n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\right)=\\ &=e^{\frac{1}{3}(\ln a+\ln b+\ln c)}=\\ &= e^{\ln(abc)^{\frac{1}{3}}}=\\ &=(abc)^{\frac{1}{3}}. \end{align*}

Concludiamo dunque

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to+\infty} \left(\dfrac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3} \right)^n=(abc)^{\frac{1}{3}}. }\]

 

Esercizio 12 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite, se esiste:

    \[\lim_{n\to+\infty} \cos \left[2\pi \sqrt[3]{\dfrac{\ln(n^{5n^3}+8^{n^4})+\sqrt{n^8+n^7}-n^4}{\ln\left(8^n+n^{23}+1\right)}} \right].\]

Svolgimento.

Notiamo quanto segue per \to+\infty:

(20)   \begin{align*} \ln\left(n^{5n^3}+8^{n^4}\right)&=\ln\left(e^{5n^3\ln n}+e^{n^4\ln 8}\right)=\\ &=\left(e^{n^4\ln 8}\left(1+o\left(1\right)\right)\right)=\\ &=\ln\left(8^{n^4}\left(1+o\left(1\right)\right)\right)=\\ &=3n^4\ln 2+o\left(1\right), \end{align*}

(21)   \begin{equation*} \sqrt{n^8+n^7}-n^4=n^4 \left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}-1 \right)= n^4\left(\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n} \right) \right) \end{equation*}

e

    \[\ln\left(8^n+n^{23}+1\right)=\ln 8^n+\ln\left(1+\dfrac{n^{23}+1}{8^n}\right)=3n\ln 2\left(1+o\left(1\right)\right)\]

da cui

(22)   \begin{align*} \dfrac{\ln(n^{5n^3}+8^{n^4})+\sqrt{n^8+n^7}-n^4}{\ln\left(8^n+n^{23}+1\right)}&=\dfrac{3n^4\ln 2+o\left(1\right)+n^4\left(\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n} \right) \right)}{3n\ln 2 }=\\ &=\dfrac{3n^4\ln 2\left(1+\dfrac{1}{6n\ln 2}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)}{3n\ln 2}=\\ &=n^3\left(1+\dfrac{1}{6\ln 2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right). \end{align*}

Abbiamo dunque

(23)   \begin{align*} &\lim_{x\to+\infty} \cos \left[2\pi \sqrt[3]{\dfrac{\ln(n^{5n^3}+8^{n^4})+\sqrt{n^8+n^7}-n^4}{\ln\left(8^n+n^{23}+1\right)}} \right]=\\ &=\lim_{n\to +\infty}\cos\left[2\pi\sqrt[3]{n^3\left(1+\dfrac{1}{6\ln 2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)}\right]\\ &=\lim_{n\to+\infty}\cos\left(2\pi n\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{6n\ln 2 }+o\left(\dfrac{1}{n}\right)}\right)\\ &=\lim_{n\to+\infty}\cos\left(2\pi n\left(1+\dfrac{1}{18n\ln 2}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\right)\\ &=\lim_{n\to+\infty}\cos\left(2\pi n+\dfrac{\pi}{9\ln 2}+o\left(1\right)\right)\\ &=\lim_{n\to+\infty}\cos\left(2\pi n+\dfrac{\pi}{9\ln 2}+o\left(1\right)\right)\\ &\overset{\clubsuit}{=}\lim_{n\to+\infty}\cos\left(\dfrac{\pi}{9\ln2}+o\left(1\right)\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{9\ln2}\right). \end{align*}

dove in \clubsuit abbiamo sfruttato gli archi associati.

Concludiamo dunque

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{x\to+\infty} \cos \left[2\pi \sqrt[3]{\dfrac{\ln(n^{5n^3}+8^{n^4})+\sqrt{n^8+n^7}-n^4}{\ln\left(8^n+n^{23}+1\right)}} \right]=\cos\left(\dfrac{\pi}{9\ln2}\right). }\]

 

Esercizio 13 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite, se esiste:

    \[\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\left(n+1\right)^{n+2}}{\left(n+2\right)^{n+1}}-\dfrac{n}{3}\right)\sin \left(\dfrac{1}{n}\right).\]

Svolgimento.

Si ha

(24)   \begin{align*} &\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\left(n+1\right)^{2}\left(n+1\right)^{n}}{\left(n+2\right)\left(n+2\right)^{n}}-\dfrac{n}{3}\right)\sin \left(\dfrac{1}{n}\right)\overset{\clubsuit}{=}\\ &=\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\left(n^2+2n+1\right)\left(n+1\right)^{n}}{\left(n+2\right)\left(n+2\right)^{n}}-\dfrac{n}{3}\right)\left(\dfrac{1}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\overset{\heartsuit}{=}\\ &=\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n\left(1+o\left(1\right)\right)\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}}{\left(1+o\left(1\right)\right)\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^{n}}-\dfrac{n}{3}\right)\left(\dfrac{1}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\\ &=\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\left(1+o\left(1\right)\right)\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}}{\left(1+o\left(1\right)\right)\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^{n}}-\dfrac{1}{3}\right)\left(1+o\left(1\right)\right)\overset{\bigstar}{=}\\ &\overset{\bigstar}{=}\left(\dfrac{e}{e^2}-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{3} \end{align*}

dove in \clubsuit abbiamo applicato lo sviluppo di Taylor del seno, cioè \sin\left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right) per n\to +\infty; in \heartsuit abbiamo raccolto n^2 al numeratore e n e al denominatore, ottenendo \dfrac{n^2}{n}=n, e abbiamo ricorso alla notazione o(1) sempre per n\to+\infty; infine in \bigstar abbiamo applicato la definizione di numero di Nepero, cioè \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e.

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\left(n+1\right)^{n+2}}{\left(n+2\right)^{n+1}}-\dfrac{n}{3}\right)\sin \left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{3}. }\]

 

Esercizio 14 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

    \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\log \sqrt{(n + 3)!} - \log_{e^2}(n! + 3)}{\log \left( \cos \left( \frac{(2n - 1)\pi}{2} \right) + n^{725} \right)}. \]

Svolgimento.

Per il numeratore abbiamo

(25)   \begin{align*} \log \sqrt{(n + 3)!} - \log_{e^ 2}(n! + 3) &= \log \sqrt{(n + 3)!} - \frac{\log (n! + 3)}{\log e^2} \\ &= \log \sqrt{(n + 3)!} - \frac{\log (n! + 3)}{2} \\ &= \frac{1}{2} \log \left((n + 3)(n + 2)(n + 1) \right)+ \frac{1}{2} \log n! - \frac{1}{2} \log n!+ \\ &\quad - \frac{1}{2} \log \left( 1 + \frac{3}{2n!} \right) \\ &= \frac{1}{2} (\log (n + 3) + \log (n + 2) + \log (n + 1)) \\ &\quad - \frac{3}{n!} + o\left( \frac{1}{n!} \right) \\ &= \frac{1}{2} \bigg(\log n + \log \left(1 + \frac{3}{n}\right) + \log n + \log \left(1 + \frac{2}{n}\right) \\ &\quad + \log n + \log \left(1 + \frac{1}{n}\right) - \frac{3}{n!} + o\left( \frac{1}{n!} \right)\bigg) \\ &= \frac{3}{2} \log n (1 + o(1)) \text{ per } n \to +\infty, \end{align*}

mentre per il denominatore

(26)   \begin{align*} & \log \left( \cos \left( \frac{(2n - 1)\pi}{2} \right) + n^{725} \right) \\ &= \log \left( \cos \left( n\pi - \frac{\pi}{2} \right) + n^{725} \right) \\ &= \log \left( \sin n\pi + n^{725} \right) = 725 \log n. \end{align*}

Torno al limite:

    \[ \lim \frac{\frac{3}{2} \log n (1 + o(1))}{725 \log n} = \frac{3}{1450}. \]

Pertanto si ha

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \frac{\log \sqrt{(n + 3)!} - \log_{e^2}(n! + 3)}{\log \left( \cos \left( \frac{(2n - 1)\pi}{2} \right) + n^{725} \right)}. = \frac{3}{1450}. }\]

 

Esercizio 15 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty}{\dfrac{ \Bigl(n^{n+1}+n^{\sqrt{n}}-n^n \Bigr)^n }{n^{n^2+n}}}. \end{equation*}

Svolgimento.

Si ha:

    \begin{equation*} \begin{split} \lim_{n \to +\infty}{\dfrac{ \bigl(n^{n+1}+n^{\sqrt{n}}-n^n \bigr)^n }{n^{n^2+n}}}&= \lim_{n \to +\infty}{\dfrac{\cancel{n^{n^2+n}}\Bigl(1+\dfrac{n^{\sqrt{n}}}{n^{n+1}}-\dfrac{\cancel{n^n}}{\cancel{n^n} \cdot n} \Bigr)^n }{\cancel{n^{n^2+n}}}}=\\ &=\lim_{n \to +\infty} e^{n \ln{\Bigl(1+\dfrac{n^{\sqrt{n}}}{n^{n+1}}-\dfrac{1}{n} \Bigr)}}. \end{split} \end{equation*}

Ora, per n \to \infty:

    \begin{equation*} \dfrac{n^{\sqrt{n}}}{n^{n+1}}-\dfrac{1}{n}=-\dfrac{1}{n}\Bigl(\dfrac{n^{\sqrt{n}}}{n^n}+1\Bigr)=-\dfrac{1}{n}\left( 1+o(1)\right) \end{equation*}

Pertanto utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor si ha:

    \begin{equation*} \ln{\Bigl(1+\dfrac{n^{\sqrt{n}}}{n^{n+1}}-\dfrac{1}{n} \Bigr)}=-\dfrac{1}{n} +o(\dfrac{1}{n}) \end{equation*}

da cui

    \begin{equation*} \displaystyle \lim_{n \to +\infty} e^{n \ln{\Bigl(1+\dfrac{n^{\sqrt{n}}}{n^{n+1}}-\dfrac{1}{n} \Bigr)}}=\lim_{n \to +\infty} e^{n{\Bigl( -\dfrac{1}{n} +o\left( \dfrac{1}{n}\right) \Bigr)}}=e^{-1}=\frac{1}{e}. \end{equation*}

Pertanto vale

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty}{\dfrac{ \bigl(n^{n+1}+n^{\sqrt{n}}-n^n \bigr)^n }{n^{n^2+n}}}= \frac{1}{e}.}\]

 

Esercizio 16 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite:

    \[ \lim_{n \to \infty} \frac{e^{4n} - e^{4n \cos \left( \frac{1}{\sqrt{n e 2n}} \right)}}{\frac{n^2}{n^3 + 2 (\sin(n) - \arctan(n^4) \ln(n) n^3 + \ln \left( 1 + e^{\sqrt{n}} \right))}}. \]

Svolgimento.

(27)   \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \frac{e^{4n} - e^{4n \cos \left( \frac{1}{\sqrt{n e 2n}} \right)}}{\frac{n^2}{n^3 + 2 (\sin(n) - \arctan(n^4) \ln(n) n^3 + \ln \left( 1 + e^{\sqrt{n}} \right))}} &= \lim_{n \to \infty} \frac{e^{4n} (1 - \cos \left( \frac{4 \sqrt{n}}{e^{2n}} \right))}{e \cdot \frac{n^2 \left( 1 - \frac{1}{n^3} \right) \ln(n)}{n^3}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{e^{4n} \left( 1 - \frac{\sqrt{n}}{e^{4n}} + o \left( \frac{\sqrt{n}}{e^{4n}} \right) \right)}{e^{4n} \left( 1 - \frac{1}{n^3} \right) \ln(n)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{e^{4n}} \left( 1 - \frac{1}{n^3} \right) \ln(n) \cdot \sin(n) - \arctan(n^4) \ln(n) n^3 + \sqrt{n} + \ln \left( 1 + \frac{1}{e^{\sqrt{n}}} \right)=\\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{e^{4n}} \left( 1 - \frac{1}{n^3} \right) \ln(n) \left( 1 + \frac{1}{n} + o \left( \frac{1}{n} \right) \right) - \arctan(n^4) \ln(n) n^3 + \sqrt{n} + o(1) \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{n} \left( 1 + o(1) \right)} = \\ &=\lim_{n \to \infty} \frac{\sin(n) \left( 1 + \frac{1}{n} + o \left( \frac{1}{n} \right) \right) - \arctan(n^4) \ln(n) n^3 + \sqrt{n} + o(1)}{\frac{1}{2} \sqrt{n} \left( 1 + o(1) \right)}=\\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \sqrt{n} \left( 1 + o(1) \right)}{\frac{1}{2} \sqrt{n} \left( 1 + o(1) \right)} = \frac{1}{2}. \end{align*}

Pertanto vale

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to \infty} \frac{e^{4n} - e^{4n \cos \left( \frac{1}{\sqrt{n e 2n}} \right)}}{\frac{n^2}{n^3 + 2 (\sin(n) - \arctan(n^4) \ln(n) n^3 + \ln \left( 1 + e^{\sqrt{n}} \right))}} = \frac{1}{2}. }\]

 

Esercizio 17 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

    \[\lim_{n\to+\infty} \dfrac{((n+1)!)^{\frac{1}{n^3}}-((n-1)!)^{\frac{1}{n^3}}}{\ln(n^4+n)\tan\left( \dfrac{1}{2n^3}\right)}.\]

Svolgimento.

Riscriviamo il limite come segue

(28)   \begin{align*} \lim_{n\to+\infty}\dfrac{((n+1)!)^{\frac{1}{n^3}}-(n-1)!)^{\frac{1}{n^3}}}{\ln(n^4+n) \tan\left( \dfrac{1}{2n^3}\right)}&\overset{\clubsuit}{=}\lim_{n} \dfrac{\left(\left(n+1\right)n\left(n-1\right)!\right)^{\frac{1}{n^3}}-\left(\left(n-1\right)!\right)^{\frac{1}{n^3}}}{\ln \left(n^4 \left(1+\dfrac{1}{n^3} \right) \right)\cdot \left(\dfrac{1}{2n^3} \right) (1+o(1))}\overset{\star}{=}\\ &\overset{\star}{=}\lim_{n} \dfrac{(n+1)^{\frac{1}{n^3}} \cdot n^{\frac{1}{n^3}} ((n-1)!)^{\frac{1}{n^3}}- ((n-1)!)^{\frac{1}{n^3}}}{\left(4\ln n+\ln \left( 1+\dfrac{1}{n^3}\right) \right) \left(\dfrac{1}{2n^3} \right) (1+o(1))}\overset{\triangle}{=}\\ &\overset{\triangle}{=}\lim_{n}\dfrac{e^{\left( \frac{1}{n^3}\ln(n-1)! \right)} \left( e^{\frac{1}{n^3} \cdot \ln(n^2+n)}-1\right) 2n^3 (1+o(1))}{4\ln n \left(1+o(1)\right)} \end{align*}

dove in \clubsuit abbiamo riscritto (n+1)!=(n+1)n(n-1)!, utilizzato \tan\left(\frac{1}{2n^3}\right)=\frac{1}{2n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right) per n\to +\infty e raccolto come segue

    \[\ln\left(n^4+n\right)=\ln\left(n^4\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\right),\]

mentre in \star abbiamo utilizzato le proprietà dei logaritmi riscrivendo

(29)   \begin{align*} \ln\left(n^4\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\right)&=\ln n^4+\ln\left(1+\frac{1}{n^3}\right)=\\ &=4\ln n +\ln\left(1+\frac{1}{n^3}\right)=4\ln n \left(1+\dfrac{\ln\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}{4\ln n}\right), \end{align*}

ed infine in \triangle abbiamo riscritto \frac{1}{\frac{1}{2n^3}}=2n^3 e osservato che

    \[\lim_{n\to +\infty}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}{4\ln n }=0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\ln\left(1+\frac{1}{n^3}\right)}{4\ln n }=o(1), \quad \mbox{per } n\to +\infty\]

ed inoltre abbiamo applicato la formula \left(f(x)\right)^{g(x)}=e^{g(x)\ln\left(f(x)\right)}\,\,\text{con}\,\,f(x)>0 da cui

    \[((n-1)!)^{\frac{1}{n^3}}=e^{\frac{1}{n^3}\cdot \ln\left(\left(n-1 \right)!\right)}\]

e

    \[(n+1)^{\frac{1}{n^3}} \cdot n^{\frac{1}{n^3}} = \left(n^2+n\right)^{\frac{1}{n^3}} = e^{\frac{1}{n^3}\ln\left(n^2+n\right)}.\]

Applicando il criterio del rapporto o l’approssimazione di Stirling è facile dimostrare che

    \[\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^3}\ln (n-1)!=0\]

quindi

    \[\dfrac{1}{n^3} \ln (n-1)!=o(1)\quad \text{per}\,\, n \to +\infty\]

per cui

    \[e^{\dfrac{\ln (n-1)!}{n^3}}=1+o(1)\quad \text{per}\,\,n \to +\infty.\]

Torniamo al limite

(30)   \begin{align*} \lim_{n} \dfrac{ \left( e^{\frac{1}{n^3} \cdot \ln(n^2+n)}-1\right) 2n^3 (1+o(1))}{4\ln n \left(1+o(1)\right)}&\overset{\bigstar}{=}\lim_{n} \dfrac{\left(\dfrac{1}{n^3} \ln (n^2+n) \right) 2n^3(1+o(1))}{4\ln n}\overset{\blacksquare }{=}\\ &=\lim_{n} \dfrac{1}{n^3} \left(\dfrac{2\ln n}{4\ln n} \right)(2n^3)(1+o(1))=1 \end{align*}

dove in \bigstar abbiamo sviluppato

    \[e^{\frac{1}{n^3} \cdot \ln(n^2+n)}=1+\frac{ \ln(n^2+n)}{n^3} +o\left(\frac{ \ln(n^2+n)}{n^3} \right) \quad \mbox{ per } n\to+\infty\]

e in \blacksquare abbiamo scritto

(31)   \begin{align*} \ln\left(n^2+n\right) & = \ln\left(n^2\left(1+\frac{1}{n}\right) \right) = \ln n^2 +\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=2\ln n + \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) =\\ & = 2\ln n \left(1+\frac{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}{2\ln n}\right)=2 \ln n \left(1+o(1)\right)\quad \mbox{per } n\to +\infty. \end{align*}

Concludiamo dunque che

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\to+\infty} \dfrac{((n+1)!)^{\frac{1}{n^3}}-(n-1)!)^{\frac{1}{n^3}}}{\ln(n^4+n)\tan\left( \dfrac{1}{2n^3}\right)}=1. }\]

 

Esercizio 18 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

    \[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\left(1+\left(\frac{\ln n}{n} \right)^2 \right)^{-3\sqrt{2}}(n\sqrt[n]{\ln n})}{\left(\frac{1}{n^3}\sin^2 \left(\frac{\sqrt{n}}{\ln n} \right)-\frac{1}{n^2} \right) ((\ln n)^n-\ln(1+n))}.\]

Svolgimento.

Per il numeratore, per n \to +\infty abbiamo

    \[\left(1+\left(\frac{\ln n}{n} \right)^2 \right)^{-3\sqrt{2}}=1+o(1)\]

e

    \[\sqrt[n]{\ln n}=\left(\ln n\right)^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln\left(\ln n\right)}=1+o(1)\]

cioé

    \[\left(1+\left(\frac{\ln n}{n} \right)^2 \right)^{-3\sqrt{2}}(n\sqrt[n]{\ln n})=n\left(1+o(1)\right).\]

Per il denominatore, per n \to +\infty, si ha che

    \[\left(\frac{1}{n^3}\sin^2 \left(\frac{\sqrt{n}}{\ln n} \right)-\frac{1}{n^2} \right)=\dfrac{1}{n^2}\left(-1+o(1)\right)\]

e

    \[((\ln n)^n-\ln(1+n))=\ln^n n \left(1+o(1)\right)\]

pertanto

    \[\left(\frac{1}{n^3}\sin^2 \left(\frac{\sqrt{n}}{\ln n} \right)-\frac{1}{n^2} \right) ((\ln n)^n-\ln(1+n))=-\dfrac{\ln^n n}{n^2}\left(1+o(1)\right).\]

Torniamo al limite e con i precedenti risultati possiamo scrivere

(32)   \begin{align*} &\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\left(1+\left(\frac{\ln n}{n} \right)^2 \right)^{-3\sqrt{2}}(n\sqrt[n]{\ln n})}{\left(\frac{1}{n^3}\sin^2 \left(\frac{\sqrt{n}}{\ln n} \right)-\frac{1}{n^2} \right) ((\ln n)^n-\ln(1+n))}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n \left(1+o\left(1\right)\right)}{-\frac{\ln^n n}{n^2} \left(1+o\left(1\right)\right)}=\\ &= -\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^3}{\ln^n n}\left(1+o\left(1\right)\right)=\\ &=-\lim_{n\to+\infty}\dfrac{e^{3\ln n }}{e^{n\ln\left(\ln n \right)}}\left(1+o\left(1\right)\right) = 0. \end{align*}

Concludiamo dunque

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\to+\infty}\dfrac{\left(1+\left(\frac{\ln n}{n} \right)^2 \right)^{-3\sqrt{2}}(n\sqrt[n]{\ln n})}{\left(\frac{1}{n^3}\sin^2 \left(\frac{\sqrt{n}}{\ln n} \right)-\frac{1}{n^2} \right) ((\ln n)^n-\ln(1+n))}=0.}\]

 

Esercizio 19 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste

    \[\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(2^n \; n! + n^n)^2}{(2n)!+(n+1)^{2n}}.\]

Svolgimento.

    \[\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(2^n \; n! + n^n)^2}{(2n)!+(n+1)^{2n}} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^{2n} (1+o(1))}{(2n)!+n^{2n} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}}.\]

Applichiamo il criterio del rapporto alla successione \left\{\frac{(2n)!}{n^{2n}}\right\}_{n\in\mathbb{N}}:

    \[\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^{2n}(n+1)^2}\dfrac{n^{2n}}{(2n)!} =\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^2=\frac{4}{e^2}<1.\]

Pertanto, tornando al limite

    \[\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1+o(1)}{e^{2+o(1)}(1+o(1))} = \dfrac{1}{e^2}.\]

Dunque vale

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to + \infty} \dfrac{(2^n \; n! + n^n)^2}{(2n)!+(n+1)^{2n}}=\frac{1}{e^2}. }\]

 

Esercizio 20 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).Calcolare il seguente limite:

(33)   \begin{equation*} I=\lim_{n \rightarrow +\infty }\dfrac{3^{\frac{n+1}{2}}\cdot n^{\frac{n}{2}}\cdot\sqrt{n}}{3^\frac{n}{2}\cdot \left(n+1 \right)^{\frac{(n+1)}{2}}}. \end{equation*}

Svolgimento.

Sia f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} una successione tale che f(n) \equiv b_n=\dfrac{3^{\frac{n+1}{2}}}{3^\frac{n}{2}} .

Riscriviamo b_n come segue

    \[b_n=\dfrac{3^{\frac{n+1}{2}}}{3^\frac{n}{2}}=\dfrac{3^{\frac{n}{2}}\cdot 3^\frac{1}{2}}{3^\frac{n}{2}}= 3^\frac{1}{2}=\sqrt{3}\]

e consideriamo ora g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} una successione tale che g(n) \equiv c_n=\dfrac{n^{\frac{n}{2}}}{ \left(n+1 \right)^{\frac{(n+1)}{2}}}.

Riscriviamo c_n come segue2

(34)   \begin{align*} c_n & =\dfrac{n^{\frac{n}{2}}}{ \left(n+1 \right)^{\frac{(n+1)}{2}}}=\\ &=\left(\dfrac{n^{n}}{ \left(n+1 \right)^{(n+1)}}\right)^{\frac{1}{2}}=\\ & =\left(\dfrac{n^{n}}{ \left(n+1 \right)^{n}\cdot \left(n+1 \right)}\right)^{\frac{1}{2}}=\\ &=\left(\dfrac{n^{n}}{n^{n} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}\cdot n\cdot \left(1+\frac{1}{n} \right)}\right)^{\frac{1}{2}}=\\ & =\cfrac{1+o(1)}{\sqrt{n} \left(1+\frac{1}{n} \right)^\frac{n}{2}}\quad \text{per}\,\, n \rightarrow +\infty. \end{align*}

Torniamo ad (33) e sfruttando i risultati trovati precedentemente, abbiamo3

(35)   \begin{align*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\dfrac{3^{\frac{n+1}{2}}\cdot n^{\frac{n}{2}}\cdot\sqrt{n}}{3^\frac{n}{2}\cdot \left(n+1 \right)^{\frac{(n+1)}{2}}} & =\lim_{n \rightarrow +\infty }b_n\cdot c_n \cdot \sqrt{n}=\\\\ & = \lim_{n \rightarrow +\infty }\sqrt{3n}\left( \cfrac{1+o(1)}{\sqrt{n} \left(1+\frac{1}{n} \right)^\frac{n}{2}}\right) =\\\\ & = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{e}}=\sqrt{\dfrac{3}{e}}. \end{align*}

Dunque concludiamo che il limite esiste finito e vale quanto segue

    \[\boxcolorato{analisi}{I=\sqrt{\dfrac{3}{e}}. }\]

   

    \[\]

  1. Data una successione h:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} tale che h(n)\equiv d_n tale che sia infinitesima per n\rightarrow+\infty, allora, sfruttando la definizione di o-piccolo, è possibile scrivere

        \[\lim_{n \rightarrow +\infty}\left( \dfrac{d_n}{1}\right) =0 \quad \Leftrightarrow \quad b_n=o(1)\quad \text{per}\,\, n \rightarrow +\infty\]

    ↩

  1. Sia

        \[b_n:\mathbb{N}\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\]

    la successione definita da

        \[b_n=\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n.\]

    Si definisce numero di Nepero

    (36)   \begin{equation*} e=\lim_{n \rightarrow +\infty}b_n \end{equation*}

    con 2<e<3. ↩

 

Esercizio 21 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite, se esiste

(37)   \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} \dfrac{(n+\sqrt{n}+1)^{\sqrt{n}}}{\ln^n n + e^n + 3n^2}. \end{equation*}

Svolgimento.

Definiamo la successione \{b_n\}_{n\in \mathbb{N}} in \mathbb{R} tale che b_n=(n+\sqrt{n}+1)^{\sqrt{n}}.

Per n \rightarrow +\infty si ha4 5

(38)   \begin{align*} b_n=(n+\sqrt{n}+1)^{\sqrt{n}} =\\ & = n^{\sqrt{n}} \left(1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}} =\\ & = n^{\sqrt{n}} e^{\sqrt{n}\ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)} =\\ & = n^{\sqrt{n}} e^{\sqrt{n}\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)}=\\ & =n^{\sqrt{n}}\,e^{\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \right)\right)} =\\ & =n^{\sqrt{n}} \; e^{1+o\left(1\right)} . \end{align*}

Dunque (37) diventa

(39)   \begin{align*} &\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(n+\sqrt{n}+1)^{\sqrt{n}}}{\ln^n n + e^n + 3n^2} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^{\sqrt{n}} \;e^{1+o\left(1\right)} }{\ln^n n + e^n + 3n^2} =\lim_{n \to +\infty}\dfrac{e^{\sqrt{n}\ln n +o\left(1\right)+1}}{e^{n\ln \left(\ln n \right)}+e^n+3n^2}=\\\\ &=\lim_{n \to +\infty} \dfrac{e^{\sqrt{n}\ln n +1+o\left(1\right)}}{e^{n\ln \left( \ln n \right) }}\left(1+o\left(1\right)\right)=0. \end{align*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \dfrac{(n+\sqrt{n}+1)^{\sqrt{n}}}{\ln^n n + e^n + 3n^2}=0.}\]

   

    \[\]

  1. Data una successione h:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} tale che h(n)\equiv d_n e sia infinitesima per n\rightarrow+\infty, allora, sfruttando la definizione di o-piccolo, è possibile scrivere

        \[\lim_{n \rightarrow +\infty}\left( \dfrac{d_n}{1}\right) =0 \quad \Leftrightarrow \quad b_n=o(1)\quad \text{per}\,\, n \rightarrow +\infty\]

    ↩

  1. Sia \{b_n\}_{n\in \mathbb{N}} una successione in \mathbb{R} infinitesima per n \rightarrow + \infty.

    Allora per n \rightarrow +\infty si ha

        \[\ln\left(1+ b_n\right)=b_n+o\left(b_n\right)\]

    ↩

 

Esercizio 22 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite, se esiste

(40)   \begin{equation*} \lim_{n \to +\infty} (2-\sqrt[n]{2})^n. \end{equation*}

Svolgimento.

Notiamo che per n \rightarrow + \infty si ha6

    \[\sqrt[n]{2}=2^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln 2 }=1+\dfrac{1}{n}\ln 2 +o\left( \dfrac{1}{n}\right)\]

da cui

    \[2-\sqrt[n]{2}=2-\left( 1+\dfrac{1}{n}\ln 2\right) +o\left( \dfrac{1}{n}\right)=1-\dfrac{1}{n}\ln 2+o\left(\dfrac{1}{n}\right) \quad \text{per}\,\, n \rightarrow +\infty.\]

Calcoliamo (40) tenendo conto dei risultati ottenuti7 8

(41)   \begin{align*} \lim_{n \to +\infty} (2-\sqrt[n]{2})^n & = \lim_{n \to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{n}\ln 2 + o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^n = \\ & = \lim_{n \to +\infty} e^{n \; \ln\left(1-\dfrac{1}{n}\ln 2 + o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)} = \\ & = e^{-\ln 2} = \dfrac{1}{2}. \end{align*}

Dunque si ha

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} (2-\sqrt[n]{2})^n =\frac{1}{2}.}\]

   

    \[\]

  1. Sia \{b_n\}_{n\in \mathbb{N}} una successione infinitesima per n \rightarrow +\infty. Allora vale quanto segue per n \rightarrow +\infty:

        \[e^{b_n}=1+b_n++o(b^n).\]

    ↩

  1. Sia \{b_n\}_{n\in \mathbb{N}} una successione infinitesima per n \rightarrow +\infty. Allora vale quanto segue per n \rightarrow +\infty:

        \[\ln\left(1+b_n \right)=b_n+o(b_n).\]

    ↩

  1. Si ricorda che

        \[b_n^{c_n}=e^{c_n\ln b_n}\quad \text{con}\,\, b_n>0 \,\, \text{per}\,\,n>n_0.\]

    ↩

 

Esercizio 23 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite, se esiste:

(42)   \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow +\infty} \left(\frac{n^{n+1}}{\left(n+1\right)^n} - \frac{n}{e}\right). \end{equation*}

Svolgimento.

Per calcolare questo limite è necessario ricorre agli sviluppi in serie.

Sviluppiamo \dfrac{n^{n+1}}{\left(n+1\right)^n} ad un ordine superiore in 1/n9:

(43)   \begin{align*} \dfrac{n^{n+1}}{(n+1)^n} = {} & \frac{e^{\left(n+1\right)\ln\left(n\right)}}{e^{n\ln\left(n+1\right)}} =\exp\left(\left( n+1 \right)\ln\left( n\right)-n\ln\left(n+1 \right) \right) = \nonumber \\ = {}&\exp\left( n\ln (n) +\ln (n)-n\ln\left(n\left(1+\dfrac{1}{n}\right) \right) \right)=\nonumber\\ = {} & \exp\left(\cancel{n\ln(n)}+\ln(n) - \cancel{n\ln(n)} - n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) = \nonumber\\ = {} & \exp\left(\ln(n)-n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\right) = \nonumber \\ = {} & \exp\left(\ln(n)-1+\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right) = \nonumber \\ ={} &e^{\ln n}\cdot e^{-1}\cdot \exp\left(\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\nonumber\\ = {} & \dfrac{n}{e} \left(1+\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\quad \text{per}\,\,\,n \rightarrow +\infty . \end{align*}

Torniamo alla successione e sfruttiamo (43) ottenendo

(44)   \begin{align*} \lim_{n\rightarrow +\infty} \left(\frac{n^{n+1}}{\left(n+1\right)^n} - \frac{n}{e}\right)& =\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{n}{e} \left(1+\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)-\dfrac{n}{e} \right)=\\ &=\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{e}\left(\dfrac{1}{2}+o\left(1 \right) \right)=\\ & =\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{n}{e}\left(\cancel{1}+\dfrac{1}{2n}-\cancel{1}+o\left(\dfrac{1}{n}\right) \right)=\dfrac{1}{2e}. \end{align*}

Concludiamo finalmente che:

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\rightarrow +\infty} \left(\frac{n^{n+1}}{\left(n+1\right)^n} - \frac{n}{e}\right)=\dfrac{1}{2e}.}\]

   

    \[\]

  1. Per la successione f_n=(b_n)^{c_n} vale la seguente scrittura f_n=(b_n)^{c_n}=e^{c_n\ln b_n} con b_n>0\,\, \forall n \in \mathbf{N}.\\ Sia \{b_n\}_{n\in \mathbb{N}} una successione infinitesima per n \rightarrow +\infty, allora valgono i seguenti sviluppi notevoli per n \rightarrow +\infty:

    (45)   \begin{equation*} \begin{aligned} & e^{b_n}=1+b_n+\dots+\dfrac{b^k_n}{k!}+o(b^k).\\ &\ln\left(1+b_n\right)=b_n-\dfrac{1}{2}b^2_n+\dfrac{1}{3}b^3_n+\dots\left(-1 \right)^{k+1}\dfrac{b^k_n}{k}+o(b_n^k) . \end{aligned} \end{equation*}

        \[\ln a +\ln b=\ln(ab)\quad \text{con}\,\,\,\,a,b>0.\]

    . ↩

 

Esercizio 24 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

    \[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{(n^n-n!+(n+7)^n)\sin\left(\frac{5\ln n}{n^n} \right)}{(\ln n^2+\ln n^3-7)(e^{\frac{1}{n}}+1)}.\]

Svolgimento.

Osserviamo che per n\to +\infty si ha

(46)   \begin{equation*} \begin{aligned} & \begin{aligned} \text{i)} \; n^n-n!+\left(n+7\right)^n&=n^n-n!+n^n\left(1+\dfrac{7}{n}\right)^n=n^n\left(1+\left(1+\dfrac{7}{n}\right)^n\right)-n!=\\ &=n^n\left(1+e^{n\ln\left(1+\frac{7}{n}\right)}\right)-n!=n^n\left(1+e^{n\left(\frac{7}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)}\right)-n!=\\ &=n^n\left(1+e^{7+o(1)} \right)\left(1+\dfrac{n!}{n^ne^{7+o(1)}}\right)=\\ &=n^n \left(1+e^{7+o(1)} \right)\left(1+o(1)\right) \end{aligned}\\ & \text{ii)} \;\sin\left(\frac{5\ln n}{n^n} \right)=\frac{5\ln n}{n^n} +o\left(\frac{\ln n}{n^n} \right)\\ & \begin{aligned} \text{iii)} \; (\ln n^2+\ln n^3-7)(e^{\frac{1}{n}}+1)&=\left(2 \ln n + 3 \ln n -7\right)\left(1+1+o(1)\right)=\\ &=\left(5\ln n -7\right)\left(2+o(1)\right)=\\ &=5\ln n \left(1-\dfrac{7}{\ln n }\right)2\left(1+o(1)\right)=\\ &=10 \ln n \left(1+o(1)\right) \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*}

da cui

(47)   \begin{equation*} \begin{aligned} &\lim_{n\to+\infty}\dfrac{(n^n-n!+(n+7)^n)\sin\left(\frac{5\ln n}{n^n} \right)}{(\ln n^2+\ln n^3-7)(e^{\frac{1}{n}}+1)}=\\ &=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n^n \left(1+e^{7+o(1)} \right)\left(1+o(1)\right)\frac{5\ln n }{n^n }}{10\ln n }\left(1+o\left(1\right)\right)=\dfrac{e^7}{2}. \end{aligned} \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\to+\infty}\dfrac{(n^n-n!+(n+7)^n)\sin\left(\frac{5\ln n}{n^n} \right)}{(\ln n^2+\ln n^3-7)(e^{\frac{1}{n}}+1)}=\dfrac{e^7}{2}.}\]

 

Esercizio 25 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

    \[\lim_{n \to+\infty} \left(\sin \left(4\arctan(n!)\right) \right) \left(n!-5^n-n^3 \right).\]

Svolgimento.

Osserviamo che

    \[n!-5^n-n^3=n!\left(1+o\left(1\right)\right)\quad \text{per}\,\,n\to+\infty\]

e applicando la nota relazione

    \[\arctan(n!)+\arctan\left(\dfrac{1}{n!}\right)=\dfrac{\pi}{2}\quad \forall n \in \mathbb{N}\setminus\{0\}\]

abbiamo

    \[\sin\left(4\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan\left(\dfrac{1}{n!}\right)\right)\right)=\sin\left(2\pi-4\arctan\left(\dfrac{1}{n!}\right)\right).\]

Sfruttando la periodicità del seno otteniamo

    \[\sin\left(2\pi-4\arctan\left(\dfrac{1}{n!}\right)\right)=-\sin\left(4\arctan\left(\dfrac{1}{n!}\right)\right)\]

e per n\to+\infty abbiamo

    \[-\sin\left(4\arctan\left(\dfrac{1}{n!}\right)\right)=-\sin\left(\dfrac{4}{n!}+o\left(\dfrac{1}{n!}\right)\right)=-\dfrac{4}{n!}+o\left(\dfrac{1}{n!}\right).\]

Sfruttando i risultato ottenuti, il limite si riscrive come segue

(48)   \begin{align*} &\lim_{n\to+\infty} \left(\sin \left(4\arctan(n!)\right) \right) \left(n!-5^n-n^3 \right)=\lim_{n\to+\infty}\left(-\dfrac{4}{n!}+o\left(\dfrac{1}{n!}\right)\right)n!\left(1+o\left(1\right)\right)=-4. \end{align*}

Concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\to+\infty} \left(\sin \left(4\arctan(n!)\right) \right) \left(n!-5^n-n^3 \right)=-4.}\]

 

Esercizio 26 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

    \[ \lim_{n \to +\infty} n \ln \left( \frac{(n+1)! e^{n+2}}{(n+2)^{n+1}\sqrt{2\pi(n+1)}} \right). \]

Svolgimento.

Si ricorda che:

    \[ n! = \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left( 1 + \frac{1}{12n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \quad \text{per } n \to +\infty. \]

Quindi:

    \[ (n+1)! = (n+1)\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left( 1 + \frac{1}{12n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \quad \text{per } n \to +\infty. \]

Tornando al limite:

(49)   \begin{align*} &\lim_{n \to +\infty} n \ln \left( \frac{(n+1)! e^{n+2}}{(n+2)^{n+1}\sqrt{2\pi(n+1)}} \right) =\\ &= \lim_{n \to +\infty} n \ln \left( \frac{(n+1)\sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + \frac{1}{12n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right)}{n^n \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)} \right)= \\ &=\lim_{n \to +\infty} n \ln \left( \left( n+1 \right) \left( 1 + \frac{1}{12n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \frac{e^{2}}{e^{n \ln \left(1 + \frac{2}{n}\right)(n+2)\sqrt{1+\frac{1}{n}}}} \right)=\\ &=\lim_{n \to +\infty} n \ln \left( e^{2} \left( \frac{1+\frac{1}{12n}}{1 - \frac{2}{n}} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \right)=\\ &=\lim_{n \to +\infty} n \ln \left( e^{2} \left( 1 - \frac{2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \left( 1 + \frac{1}{12n} \right) \right)= \\ &=\lim_{n \to +\infty} n \ln \left( 1 - \frac{2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 1 + \frac{7}{12n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right)= \\ &=\lim_{n \to +\infty} n \left( \frac{7}{12n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) = \frac{7}{12}. \end{align*}

Concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} n \ln \left( \frac{(n+1)! e^{n+2}}{(n+2)^{n+1}\sqrt{2\pi(n+1)}} \right) =\frac{7}{12}.}\]

 

Esercizio 27 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare se esiste il seguente limite di successione:

    \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^{5 \left( \log n \right)^2 / n + 1} - e^{n 2^n + \log n}}{\left( \log n \right)^3}. \]

Svolgimento.

Per n \to +\infty:

    \[ n^{5 \left( \log n \right)^2 / n + 1} - \frac{1}{e^{n 2^n + \log n}} = n \left( e^{\frac{5 (\log n)^3}{n} - \frac{1}{e^{n 2^n}}} \right) = 5 (\log n)^3 \left( 1 + o(1) \right). \]

Tornando al limite:

    \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{5 \left( \log n \right)^3 \left( 1 + o(1) \right)}{\left( \log n \right)^3} = 5. \]

Concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n \to +\infty} \frac{n^{5 \left( \log n \right)^2 / n + 1} - e^{n 2^n + \log n}}{\left( \log n \right)^3}=5. }\]


 

Esercizio 28 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

    \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{((n+1)!)^{\frac{1}{n^5}} - ((n-1)!)^{\frac{1}{n^5}}}{\tan\left(\frac{1}{4n^5}\right)\ln(n^4+n^3+n^2+n+1)} . \]

Svolgimento.

    \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{((n+1)!)^{\frac{1}{n^5}} - ((n-1)!)^{\frac{1}{n^5}}}{\tan\left(\frac{1}{4n^5}\right)\ln(n^4+n^3+n^2+n+1)} = \]

    \[ = \lim_{n \to +\infty} ((n-1)!)^{\frac{1}{n^5}} \frac{\left( n^2+n \right)^{\frac{1}{n^5}} - 1}{\left(\frac{1}{4n^5}+o(\frac{1}{n^5})\right)4 \ln(n)(1 + o(1))}. \]

Vogliamo ora dimostrare che:

    \[ \lim_{n \to +\infty} ((n-1)!)^{\frac{1}{n^5}} = 1 \]

    \[ \lim_{n \to +\infty} ((n-1)!)^{\frac{1}{n^5}} = \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{\ln((n-1)!)}{n^5}}. \]

Si osserva che:

    \[ 0 \leq \frac{\ln((n-1)!)}{n^5} \leq \frac{\ln(n^n)}{n^5} = \frac{\ln(n)}{n^4}. \]

In particolare:

    \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n)}{n^4} = 0. \]

Quindi:

    \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln((n-1)!)}{n^5} = 0 \quad \text{per il teorema del confronto}. \]

Si conclude che:

    \[ \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{\ln((n-1)!)}{n^5}} = 1. \]

Torniamo ora al limite

(50)   \begin{align*} \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{e^{\frac{1}{n^5} \ln \left(n^2+n\right)}}{\frac{4 \ln (n)}{4 n^5}}(1+o(1)) & =\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{e^{\frac{2 \ln (n)}{n^5}(1+o(1))}-1}{\frac{4 \ln (n)}{4 n^5}}(1+o(1))\\ & =\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\frac{2 \ln (n)}{\frac{5}{5}}}{\frac{4 \ln (n)}{4 n^5}}(1+o(1))=2. \end{align*}

Concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n \to +\infty} \frac{((n+1)!)^{\frac{1}{n^5}} - ((n-1)!)^{\frac{1}{n^5}}}{\tan\left(\frac{1}{4n^5}\right)\ln(n^4+n^3+n^2+n+1)}=2.}\]


 

Esercizio 29 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

    \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n!} + 2^{n! }}{2^{n!}\left(1 - \frac{1}{2n^2}\right)^{n!} + 2^{n!}\left(1 + \frac{1}{2n!}\right)^{n!} }. \end{equation*}

Svolgimento.

    \begin{align*} \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n!} + 2^{n! }}{2^{n!}\left(1 - \frac{1}{2n^2}\right)^{n!} + 2^{n!}\left(1 + \frac{1}{2n!}\right)^{n!} }&=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{e^{n!\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)}}{2^{n!}} + 1}{e^{\frac{1}{2} + o\left(1\right) = } + e^{n!\ln\left( 1 - \frac{1}{2n^2}\right)}}\\ &=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{e^{\frac{n!}{n} \left(1 + o\left(1\right) \right)}}{e^{n!\ln2}}+ 1 }{e^{\frac{1}{2} + o\left(1\right)}+ e^{\frac{n!}{-2n^2}\left(1 + o\left(1\right)\right) }} = \frac{1}{\sqrt{e}}. \end{align*}

Concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n!} + 2^{n! }}{2^{n!}\left(1 - \frac{1}{2n^2}\right)^{n!} + 2^{n!}\left(1 + \frac{1}{2n!}\right)^{n!} }=\frac{1}{\sqrt{e}}. }\]

 

Riferimenti bibliografici

[1] Tauraso, R., Sito personale di Roberto Tauraso, Università di Tor Vergata.
[2] Isola, T., Corso di Analisi Matematica I, Università di Tor Vergata.
[3] Braides, A., Sito personale di Andrea Braides, Università di Tor Vergata.

 
 

Tutta la teoria di analisi matematica

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  6. Il principio di induzione
  7. Gli assiomi di Peano
  8. L’insieme dei numeri reali: costruzione e applicazioni
  9. Concetti Fondamentali della Retta Reale: Sintesi Teorica
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  28. Il teorema di Weierstrass
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  30. Il teorema della permanenza del segno
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  35. Discontinuità di funzioni monotone
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  42. I teoremi di de l’Hôpital
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  44. Teoremi di Rolle e Lagrange
  45. Il teorema di Cauchy
  46. Espansione di Taylor: teoria, esempi e applicazioni pratiche
  47. Polinomi di Taylor nei limiti: istruzioni per l’uso
  48. Integrali definiti e indefiniti
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  50. Integrali ricorsivi
  51. Formule del trapezio, rettangolo e Cavalieri-Simpson
  52. Teoria sugli integrali impropri
  53. Funzioni integrali – Teoria
  54. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di ingegneria — versione semplificata)
  55. Introduzione ai numeri complessi – Volume 1 (per un corso di matematica o fisica)
  56. Serie numeriche: la guida completa
  57. Successioni di funzioni – Teoria
  58. Teoremi sulle successioni di funzioni
    1. 58a. Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme
    2. 58b. Limite uniforme di funzioni continue
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  59. Serie di funzioni – Teoria
  60. Serie di potenze – Teoria
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  62. Integrali multipli — Parte 1 (teoria)
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  68. Teoria equazioni differenziali
  69. Equazione di Eulero
  70. Teoria ed esercizi sulla funzione Gamma di Eulero
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  75. Esercizi avanzati analisi

 
 

Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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    7. Logica elementare
    8. Insiemi
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    5. Limiti notevoli
    6. Esercizi misti Successioni
    7. Successioni per ricorrenza
  3. Funzioni
    1. Teoria sulle funzioni
    2. Verifica del limite in funzioni
    3. Limite base in funzioni
    4. Forme indeterminate in funzioni
    5. Limiti notevoli in funzioni
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    7. Studio di funzione senza derivate
    8. Dominio di una funzione
    9. Esercizi misti Funzioni
    10. Esercizi misti sui Limiti
  4. Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    1. Teoria sulle Funzioni continue-lipschitziane-holderiane
    2. Continuità delle funzioni
    3. Continuità uniforme
    4. Teorema degli zeri
    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass senza l’uso delle derivate
  5. Calcolo differenziale
    1. Derivate
    2. Calcolo delle derivate
    3. Retta tangente nel calcolo differenziale
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    5. Esercizi sul teorema di Weierstrass con l’uso delle derivate
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    7. Esercizi teorici nel calcolo differenziale
    8. Metodo di bisezione
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  6. Teoremi del calcolo differenziale
    1. Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale
    2. Teorema di Rolle
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    5. Teorema di De L’Hôpital
  7. Calcolo integrale
    1. Integrale di Riemann
    2. Integrali immediati
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    8. Metodo dei rettangoli e dei trapezi
    9. Esercizi Misti Integrali Indefiniti
    10. Esercizi Misti Integrali Definiti
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    1. Teoria Integrali impropri
    2. Carattere di un integrale improprio
    3. Calcolo di un integrale improprio
  9. Espansione di Taylor
    1. Teoria Espansione di Taylor
    2. Limiti di funzione con Taylor
    3. Limiti di successione con Taylor
    4. Stime del resto
  10. Funzioni integrali (Approfondimento)
    1. Teoria Funzioni integrali (Approfondimento)
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    3. Limiti con Taylor e De L’Hôpital
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  11. Numeri Complessi
    1. Teoria Numeri complessi
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    6. Esercizi misti Numeri complessi
  12. Serie numeriche
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    1. Teoria Funzioni di più variabili
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    10. Integrali di superficie
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    15. Teorema del Dini
  19. Equazioni differenziali lineari e non lineari
    1. Teoria equazioni differenziali lineari e non lineari
    2. Equazioni differenziali lineari e non lineari del primo ordine omogenee
  20. Equazioni differenziali lineari
    1. Del primo ordine non omogenee
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    5. Non omogenee avente per omogenea associata un’equazione di Eulero
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  21. Equazioni differenziali non lineari
    1. A variabili separabiliO
    2. A secondo membro omogeneo
    3. Del tipo y’=y(ax+by+c)
    4. Del tipo y’=y(ax+by+c)/(a’x+b’y+c’)
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    8. Di Riccati
    9. Cambi di variabile: simmetrie di Lie
  22. Analisi complessa
    1. Fondamenti
    2. Funzioni olomorfe
    3. Integrale di Cauchy e applicazioni
    4. Teorema della curva di Jordan e teorema fondamentale dell’Algebra
    5. Teorema di inversione di Lagrange
    6. Teorema dei Residui
    7. Funzioni meromorfe
    8. Prodotti infiniti e prodotti di Weierstrass
    9. Continuazione analitica e topologia
    10. Teoremi di rigidità di funzioni olomorfe
    11. Trasformata di Mellin
  23. Equazioni alle derivate parziali
    1. Equazioni del primo ordine
    2. Equazioni del secondo ordine lineari
    3. Equazioni non-lineari
    4. Sistemi di PDE
  24. Funzioni speciali
    1. Funzione Gamma di Eulero
    2. Funzioni Beta,Digamma,Trigamma
    3. Integrali ellittici
    4. Funzioni di Bessel
    5. Funzione zeta di Riemann e funzioni L di Dirichlet
    6. Funzione polilogaritmo
    7. Funzioni ipergeometriche
  25. Analisi funzionale
    1. Misura e integrale di Lebesgue
    2. Spazi Lp,teoremi di completezza e compattezza
    3. Spazi di Hilbert,serie e trasformata di Fourier
    4. Teoria e pratica dei polinomi ortogonali
    5. Spazi di Sobolev
  26. Complementi
    1. Curiosità e approfondimenti
    2. Compiti di analisi
    3. Esercizi avanzati analisi
  27. Funzioni Convesse

 
 

Tutti gli esercizi di geometria

In questa sezione vengono raccolti molti altri esercizi che coprono tutti gli argomenti di geometria proposti all’interno del sito con lo scopo di offrire al lettore la possibilità di approfondire e rinforzare le proprie competenze inerenti a tali argomenti.

Strutture algebriche.


Algebra lineare.


Geometria analitica.


Geometria differenziale.


 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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