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Limiti di successioni – Esercizi con i polinomi di Taylor

Limiti di successione con Taylor

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In questo articolo presentiamo 29 esercizi sui limiti di successioni numeriche, calcolati mediante l’utilizzo dei polinomi di Taylor. Gli esercizi sono completamente svolti, per offrire una comprensione completa delle tecniche e strategie utilizzate. Questo articolo è quindi particolarmente indicato per chi desidera approfondire la sua conoscenza dei limiti di successioni e dell’approssimazione di Taylor, oltre alla loro interazione nella soluzione di problemi di vario grado di difficoltà.

Oltre alle raccolte di esercizi

segnaliamo anche il materiale teorico di riferimento:

Buona lettura!

 

Sommario

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Questa dispensa offre una collezione di 30 esercizi svolti sui limiti di successioni, con un’attenzione particolare all’applicazione del polinomio di Taylor. Gli esercizi, dettagliati e accuratamente spiegati, costituiscono un valido strumento didattico per studenti di ingegneria, fisica e matematica nell’ambito del corso di Analisi 1. La selezione comprende esercizi di varia complessità, dai più semplici ai più impegnativi, strutturati in modo da favorire una progressiva acquisizione delle competenze. Al termine dello studio, lo studente sarà in grado di padroneggiare le tecniche fondamentali per risolvere problemi sui limiti di successioni utilizzando il polinomio di Taylor, acquisendo così una solida preparazione teorica e pratica.

 

Autori e revisori

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Autore: Valerio Brunetti.  

Revisori: Matteo Talluri, Giulio Binosi.  


 

Testi degli esercizi

 

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

\[\lim_{n\to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}-n!\right)(n+1)!}{(n+1)^3\ln \left(\frac{n+3}{n+2}\right)+(n+3)^{\frac{1}{n}}}.\]

Svolgimento.

Osserviamo che

\[(n+1)!=(n+1)n!\]

e

\[\sqrt{\left(n!\right)^2-13n}-n!=n!\left(\sqrt{1-\dfrac{13n}{(n!)^2}}-1\right)=n!\left(-\dfrac{13n}{2(n!)^2}+o\left(\dfrac{n}{(n!)^2}\right)\right)\quad \text{per}\,\,n\to+\infty\]

da cui sviluppando il cubo di binomio al denominatore si ha

(1) \begin{align*} I&=\lim_{n\to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}-n!\right)(n+1)!}{(n+1)^3\ln \left(\frac{n+3}{n+2}\right)+(n+3)^{\frac{1}{n}}}\\ &=\lim_{n} \dfrac{n!\left(-\frac{13}{2}\cdot \frac{n}{(n!)^2}+o(1) \right)(n+1)!}{n^3\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)+3n^2\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)+3n\ln \left(1+\frac{1}{(n+2)} \right)+\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)+1+o(1)} \end{align*}

in quanto

\[(n+3)^{\frac{1}{n}}= e^{\frac{1}{n} \ln(n+3)} = 1 + o(1) \quad \mbox{ per } n \to +\infty.\]

Ora notiamo che per n\to+\infty si ha

(2) \begin{align*} &n^3\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)+3n^2\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)+3n\ln \left(1+\frac{1}{(n+2)} \right)+\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)+1+o(1)=\\ &=n^3\ln \left(1+\frac{1}{n+2} \right)\left(1+o(1)\right)=\dfrac{n^3}{n+2}\left(1+o(1)\right)=\dfrac{n^3}{n}\left(1+o(1)\right) \end{align*}

cioè

(3) \begin{align*} I&=\lim_{n}\dfrac{-\frac{13}{2}\dfrac{n}{n!}\left(n+1\right)n!}{n^2}\left(1+o(1)\right)=\\ &= - \lim_{n} \dfrac{13}{2}\cdot\dfrac{n^2+n}{n^2}\left(1+o(1)\right)=\\ &=-\dfrac{13}{2}. \end{align*}

Si conclude che

\[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\left(\sqrt{(n!)^2-13n}-n!\right)(n+1)!}{(n+1)^3\ln \left(\frac{n+3}{n+2}\right)+(n+3)^{\frac{1}{n}}}=-\dfrac{13}{2}.}\]

 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

\[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt{n^n}+(n+3)^{n+1}-(n-3)^{n-1}-e^3n^{n+1}}{n^n}.\]

Svolgimento.

Procediamo come segue

(4) \begin{align*} &\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt{n^n}+(n+3)^{n+1}-(n-3)^{n-1}-e^3n^{n+1}}{n^n}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\sqrt{n^n}}{n^n}+\dfrac{(n+3)^{n+1}}{n^n}-\dfrac{(n-3)^{n-1}}{n^n}-\dfrac{e^3n^{n+1}}{n^n}\right)\overset{\clubsuit}{=}\\ &\overset{\clubsuit}{=}\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{(n+3)^{n+1}}{n^n}-\dfrac{(n-3)^{n-1}}{n^n}-\dfrac{e^3n^{n+1}}{n^n}+o(1)\right)\overset{\star}{=}\\ &\overset{\star}{=}\lim_{n} \left(n \left( 1+\dfrac{3}{n}\right)^{n+1}-n^{-1} \left(1-\dfrac{3}{n} \right)^{n-1}-e^3n+o(1) \right)\overset{\bigstar}{=}\\ &\overset{\bigstar}{=}\lim_{n} \left(n\cdot e^{n\log\left( 1+\frac{3}{n}\right)}\left( 1+\dfrac{3}{n}\right) -n^{-1}e^{n\log\left( 1-\frac{3}{n}\right)}\left( 1-\dfrac{3}{n}\right)^{-1}-e^3n+o(1) \right)\overset{\heartsuit}{=}\\ &\overset{\heartsuit}{=}\lim_{n} \left(n\cdot e^{n\left( \frac{3}{n}-\frac{9}{2n^2}+o \left(\frac{1}{n^2} \right)\right)} \left( 1+\dfrac{3}{n}\right)-n^{-1}e^{n \left(\frac{-3}{n}+o \left(\frac{1}{n} \right) \right)} \dfrac{n}{n-3}-e^3n+o(1) \right)= \\ &=\lim_{n} \left(n\cdot e^{\left(3-\frac{9}{2n}+o\left(\frac{1}{n} \right) \right)} \left( 1+\dfrac{3}{n}\right)-\dfrac{1}{n-3}e^{-3+o(1)}-e^3n+o(1) \right)=\\ &=\lim_{n} \left(n(e^3)e^{-\frac{9}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n} \right)}\left( 1+\dfrac{3}{n}\right) -\dfrac{e^{-3}}{n}+o\left(\dfrac{1}{n} \right)-e^3n+o(1) \right)=\\ &=\lim_{n} \left(n\cdot e^3 \left(1-\dfrac{9}{2n}+o \left(\dfrac{1}{n}\right)\right) \left(1+\dfrac{3}{n}\right)-e^3n-\dfrac{e^{-3}}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right) \right)=\\ &=\lim_{n}\left(n\cdot e^3 \left(1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{9}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right) -e^3n+o(1)\right)=\\ &=\lim_{n}\left(-\dfrac{3}{2}e^3+o(1)\right)=-\dfrac{3}{2}e^3 \end{align*}

dove in \clubsuit abbiamo osservato che \frac{\sqrt[n]{n}}{n^n}=o(1)\,\,\text{per}\,\,n\to+\infty, in \star abbiamo operato come segue

\[\dfrac{\left(n+3\right)^{n+1}}{n^n}=\dfrac{\left(n+3\right)^{n+1}}{n^{n+1-1}}=\dfrac{\left(n+3\right)^{n+1}}{n^{n+1}\cdot n^{-1}}=n\cdot \left(\dfrac{n+3}{n}\right)^{n+1}=n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)^{n+1}\]

e

\[\dfrac{\left(n-3\right)^{n-1}}{n^n}=\dfrac{\left(n-3\right)^{n-1}}{n^{n-1+1}}=\dfrac{\left(n-3\right)^{n-1}}{n^{n-1}\cdot n}=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{n-3}{n}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{n}\left(1-\dfrac{3}{n}\right)^{n-1},\]

in \bigstar abbiamo riscritto

\[n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)^{n+1}=n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)^n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)=n\,e^{ n\ln\left(1+\frac{3}{n}\right)}\left(1+\dfrac{3}{n}\right)\]

e

\[n^{-1} \left(1-\dfrac{3}{n} \right)^{n-1}=n^{-1}\left(1-\dfrac{3}{n}\right)^n\left(1-\dfrac{3}{n}\right)^{-1}=n^{-1}e^{n\ln\left(1-\frac{3}{n}\right)}\left(1-\dfrac{3}{n}\right)^{-1},\]

in \heartsuit abbiamo sviluppato in serie come segue

\[n\,e^{ n\ln\left(1+\frac{3}{n}\right)}\left(1+\dfrac{3}{n}\right)=n\cdot e^{n\left( \frac{3}{n}-\frac{9}{2n^2}+o \left(\frac{1}{n^2} \right)\right)} \left( 1+\dfrac{3}{n}\right)\]

e

\[n^{-1}e^{n\ln\left(1-\frac{3}{n}\right)}\left(1-\dfrac{3}{n}\right)^{-1}=n^{-1}e^{n \left(\frac{-3}{n}+o \left(\frac{1}{n} \right) \right)} \dfrac{n}{n-3},\]

nei passaggi successivi abbiamo ragionato in modo analogo ai passaggi illustrati in precedenza ovvero sviluppato in serie e fatto varie semplificazioni1.

Concludiamo dunque

\[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt{n^n}+(n+3)^{n+1}-(n-3)^{n-1}-e^3n^{n+1}}{n^n}=-\dfrac{3}{2}e^{3}.}\]

   

\[\]

  1. Lasciamo la verifica al lettore. ↩

 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite di successione, se esiste:

\[\lim_{n\to+\infty} \dfrac{2(n+2)^n(n+1)!\left(1-\cos \frac{1}{\sqrt{n!}}\right)}{7n^{n+1}-2^{n+1}+\tan^{-1}((n+4)!)}.\]

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