Esercizi sulla verifica dei limiti 19

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 19   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to -3}\dfrac{2}{\left(x+3\right)^2} = +\infty. \end{equation*}

 

Svolgimento .
Bisogna dimostrare che vale la condizione al punto 3 della tabella 1 con x_0=-3 e f \colon \mathbb{R} \setminus \{-3\} \to \mathbb{R} definita da

(3)   \begin{equation*} f(x) = \dfrac{2}{\left(x+3\right)^2} \qquad \forall x \neq -3, \end{equation*}

il cui grafico è rappresentato in figura 19. Il numero reale x_0=-3, pur non appartenendo al dominio di f, è un punto di accumulazione per esso, quindi è significativo studiare il limite di f in x_0.
Fissiamo M\in \mathbb{R} e, grazie all’osservazione 1 dei richiami di teoria, possiamo sceglierlo tale che M>0. Si ha

(4)   \begin{equation*} f(x)> M \iff \dfrac{2}{\left(x+3\right)^2} > M \iff \begin{cases} |x+3| < \sqrt{\dfrac{2}{M}} \\[7pt] x \neq -3 \end{cases} \iff \begin{cases} - 3 -\sqrt{\dfrac{2}{M}} < x < -3+\sqrt{\dfrac{2}{M}} \\[7pt] x \neq -3. \end{cases} \end{equation*}

Scegliendo quindi \delta=\sqrt{\dfrac{2}{M}}, si ottiene

(5)   \begin{equation*} x \in (-3-\delta,-3+\delta) \setminus \{-3\} \implies f(x)>M. \end{equation*}

Figura 19: il grafico della funzione dell’esercizio 19. Si osserva che, se x \in \left ( -3-\delta,-3+\delta\right ) \setminus \{-3\}, allora f(x)>M..