Esercizi sulla verifica dei limiti 20

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 20   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \dfrac{2^x-1}{2^x}=1. \end{equation*}

 

Svolgimento .
Bisogna verificare che valga la condizione 7 della tabella 1, con \ell=1 e f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

(3)   \begin{equation*} f(x)= \dfrac{2^x-1}{2^x} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Il punto x_0=+\infty è di accumulazione per il dominio di f, quindi il limite richiesto è significativo. Fissiamo \varepsilon>0; abbiamo

(4)   \begin{equation*} |f(x)-\ell|< \varepsilon \iff \left |  \dfrac{2^x-1}{2^x} - 1 \right | < \varepsilon \iff  \dfrac{1}{2^x} < \varepsilon \iff 2^x > \frac{1}{\varepsilon} \iff x > - \log_2 \varepsilon, \end{equation*}

dove nella seconda equivalenza abbiamo usato il fatto che \left |  \frac{-1}{2^x} \right |  = \frac{1}{2^x}, mentre nell’ultima abbiamo utilizzato la nota proprietà dei logaritmi \log_a t^\beta = \beta \log_a t con \beta=-1. Scegliendo H = - \log_2 \varepsilon, si ha dunque la tesi.

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