Esercizi sulla verifica dei limiti 22

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 22  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x+5e^{-x}}{e^x+2e^{-x}} =1. \end{equation*}

 

Svolgimento .
Occorre verificare che sia valida la condizione al caso 7 della tabella 1 con \ell=1 e f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

(3)   \begin{equation*} f(x) = \dfrac{e^x+5e^{-x}}{e^x+2e^{-x}} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Fissiamo dunque \varepsilon>0 e, grazie all’osservazione 1 dei richiami di teoria, possiamo scegliere \varepsilon< 3. Si ha

(4)   \begin{equation*} |f(x)-\ell|< \varepsilon \iff \left | \dfrac{e^x+5e^{-x}}{e^x+2e^{-x}} - 1\right | < \varepsilon \iff \frac{3e^{-x}}{e^x+2e^{-x}} < \varepsilon \Longleftarrow \begin{cases} \dfrac{3}{e^x} < \varepsilon \\[5pt] x\geq 0 \end{cases} \iff x>\log \frac{3}{\varepsilon}, \end{equation*}

dove l’implicazione \Leftarrow è dovuta al ragionamento che segue: poiché e^x + 2e^{-x}> e^x e poiché siamo interessati a determinare un intorno di +\infty, possiamo limitarci a considerare x \geq 0 e perciò si ha 3e^{-x}\leq 3; valendo ovviamente e^x+2e^{-x}> e^x, si ha dunque

(5)   \begin{equation*} \frac{3e^{-x}}{e^x+2e^{-x}} < \dfrac{3}{e^x} \qquad \forall x \geq 0. \end{equation*}

Dunque, se \frac{3}{e^x}< \varepsilon e x \geq 0, allora \frac{3e^{-x}}{e^x+2e^{-x}}< \varepsilon, giustificando appunto l’implicazione \Leftarrow in (4). Nell’ultima equivalenza in (4) si è invece trascurata la condizione x \geq 0, che è ridondante in virtù della scelta \varepsilon<3. In definitiva, scegliendo H=\log \frac{3}{\varepsilon} e leggendo le implicazioni in (4) da destra verso sinistra si ottiene

(6)   \begin{equation*} x> H \implies |f(x)-\ell|< \varepsilon, \end{equation*}

cioè la tesi.