Verifica del limite: esercizio 15

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In questo quindicesimo esercizio della raccolta Esercizi sulla verifica del limite presentiamo la verifica del limite di una funzione polinomiale. Segnaliamo l’esercizio precedente esercizio sulla verifica del limite 14 sulla verifica del limite della funzione irrazionale e quello successivo esercizio sulla verifica del limite 16 per la verifica di limiti destri e sinistri di una funzione esponenziale.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Revisori: Matteo Talluri, Sergio Fiorucci.

Richiami di teoria sulla verifica del limite

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Si veda anche richiami di teoria sulla verifica dei limiti o l’articolo di Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Definizione 1 (limiti di funzioni) Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ un punto di accumulazione per $A$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ . Si dice che $\ell$ è il limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se, per ogni intorno $V$ di $\ell$ , esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che

(1) $\begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}$

In tal caso si scrive

(2) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}$

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui $x_0 \in \mathbb{R}$ , $x_0 = -\infty$ , $x_0=+\infty$ e $\ell \in \mathbb{R}$ , $\ell = -\infty$ , $\ell=+\infty$ .