Esercizi sulla verifica dei limiti 15

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 15   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to + \infty} \left(5x^2+2\right) = + \infty. \end{equation*}

 

Svolgimento .
Occorre provare che vale la condizione al punto 9 della tabella 1 con f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x)=5x^2+2 per ogni x \in \mathbb{R}. Fissiamo M \in \mathbb{R} e assumiamo, in virtù dell’osservazione 1 dei richiami di teoria, che M\geq 2. Si ha

(3)   \begin{equation*} f(x)>M \iff 5x^2+2>M \iff x^2> \frac{M-2}{5} \impliedby x > \sqrt{\frac{M-2}{5}}, \end{equation*}

dove nell’ultima relazione abbiamo usato il fatto che M\geq 2 per estrarre la radice quadrata e non abbiamo scritto un’equivalenza in quanto stiamo trascurando le soluzioni negative della disuguaglianza precedente, visto che per i nostri scopi è sufficiente determinare un intorno (H,+\infty) di +\infty in cui tale disuguaglianza sia verificata. Se scegliamo H=\sqrt{\frac{M-2}{5}}, vale quindi

(4)   \begin{equation*} x \in \left ( \sqrt{\frac{M-2}{5}},+\infty \right ) \implies f(x)>M, \end{equation*}

cioè quanto si voleva dimostrare; si veda la figura 15.

Figura 15: raffigurazione dell’esercizio 15. Si vede che, se x> \sqrt{\frac{M-2}{5}}, allora 5x^2+2> M.