Esercizi sulla verifica dei limiti 14

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 14   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*}\label{14:traccia} \lim_{x \to - \infty} \sqrt{x^2+2} = + \infty. \end{equation*}

 

Svolgimento .

Occorre verificare che valga la condizione al punto 6 della tabella 1, dove f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} è definita da

(3)   \begin{equation*} f(x)= \sqrt{x^2+2} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Fissiamo dunque M \in \mathbb{R} e, grazie all’osservazione 1 dei richiami di teoria,, possiamo limitarci a considerare il caso in cui M\geq \sqrt{2}. Vale

(4)   \begin{equation*} f(x)> M \iff \sqrt{x^2+2} > M \iff x^2+2 > M^2 \impliedby x < -\sqrt{M^2-2}, \end{equation*}

dove nell’ultima implicazione non vale l’equivalenza in quanto stiamo trascurando le soluzioni positive della disequazione precedente, essendo interessati a determinare un intorno (-\infty,H) di -\infty. Notiamo inoltre che l’estrazione della radice è possibile grazie alla scelta M \geq \sqrt{2}. Scegliendo quindi H=-\sqrt{M^2-2}, si ha

(5)   \begin{equation*} x \in (-\infty,H) \implies f(x)>M, \end{equation*}

ovvero quanto si voleva provare.