Esercizi sulla verifica dei limiti 13

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 13   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Sia \alpha>0. Verificare, mediante la definizione, i seguenti limiti:

  1. \displaystyle \lim_{x \to x_0} x^\alpha = x_0^\alpha per ogni x_0 \in [0,+\infty);
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^\alpha=+\infty.

 

Svolgimento .
Svolgiamo separatamente i due punti dell’esercizio, le cui soluzioni seguono dall’esistenza e dalle proprietà delle potenze a esponente reale: il lettore interessato può consultare la sezione 5 della dispensa sulle funzioni elementari e l’appendice A della dispensa di teoria delle successioni per maggiori dettagli.

  1. Dobbiamo verificare che vale la condizione al punto 1 della tabella 1 con \ell=x_0^\alpha. Per maggiore chiarezza espositiva separiamo i casi in cui x_0=0 e x_0>0.
    •  x_0=0.Fissiamo \varepsilon>0 e osserviamo che

      (3)   \begin{equation*} 0 \leq x^\alpha < \varepsilon \iff 0 \leq x < \varepsilon^{\frac{1}{\alpha}}, \end{equation*}

      dove l’equivalenza segue elevando tutto alla potenza \frac{1}{\alpha} e sfruttando il fatto che la potenza a esponente reale positivo è crescente, si veda il grafico a sinistra in figura 13a.
      Scegliendo dunque \delta= \varepsilon^{\frac{1}{\alpha}}, si ottiene

      (4)   \begin{equation*} x \in \left [0, \varepsilon^{\frac{1}{\alpha}} \right ) \implies |x^\alpha| < \varepsilon, \end{equation*}

      ovvero quanto desiderato. \

      Figura 13a: rappresentazione del punto 1 dell’esercizio 13, ossia il limite per x_0 \in [0,+\infty). A sinistra il caso x_0=0, a destra il caso x_0>0. Nonostante sia rappresentato il caso \alpha \in (0,1), gli argomenti sono indipendenti da questa proprietà e solo validi per qualunque \alpha>0.

    • x_0>0. Sia ora x_0>0 e scegliamo \varepsilon>0. Per l’osservazione 1 dei richiami di teoria possiamo assumere \varepsilon < x_0^\alpha, avendo così x_0^\alpha - \varepsilon>0. Si ha dunque

      (5)   \begin{equation*} x_0^\alpha - \varepsilon < x^\alpha < x_0^\alpha + \varepsilon \iff (x_0^\alpha - \varepsilon)^{\frac{1}{\alpha}} < x < (x_0^\alpha + \varepsilon)^{\frac{1}{\alpha}}, \end{equation*}

      si veda il grafico a destra nella figura 13a. Poiché l’intervallo aperto \left ( (x_0^\alpha - \varepsilon)^\frac{1}{\alpha}, (x_0^\alpha + \varepsilon)^{\frac{1}{\alpha}} \right ) contiene x_0, esiste \delta>0 tale che

      (6)   \begin{equation*} (x_0^\alpha - \varepsilon)^\frac{1}{\alpha} < x_0-\delta < x_0+\delta < (x_0^\alpha + \varepsilon)^{\frac{1}{\alpha}}. \end{equation*}

      Per (5) e (6) si ottiene quindi

      (7)   \begin{equation*} x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \implies |x^\alpha - x_0^\alpha|< \varepsilon, \end{equation*}

      ovvero la conclusione.

  2. Occorre provare la validità della condizione al punto 9 della tabella 1. A tal fine, fissiamo M \in \mathbb{R} e, nuovamente in virtù dell’osservazione 1 dei richiami di teoria, possiamo limitarci a considerare il caso in cui M>0. Si ha

    (8)   \begin{equation*} x^\alpha> M \iff x > M^{\frac{1}{\alpha}}, \end{equation*}

    dove di nuovo l’equivalenza segue elevando entrambi i membri a \frac{1}{\alpha} (che è possibile grazie alla scelta M>0) e per la monotonia della potenza a esponente reale positivo; si veda la figura 13b. Scegliendo quindi H=M^{\frac{1}{\alpha}}, (8) è quanto volevamo provare.

    Figura 13b: rappresentazione del punto 2 dell’esercizio 13. Si vede che, se x> M^{\frac{1}{\alpha}}, allora x^\alpha> M.