Esercizi sulla verifica dei limiti 9

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 9  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia f \colon A \to \mathbb{R}, sia x_0 un punto di accumulazione per A e si supponga che \lim_{x \to x_0} f(x)=+\infty. Provare che si ha

    \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = 0. \end{equation*}

 

Svolgimento .

Supponiamo per fissare le idee che x_0 \in \mathbb{R} come illustrato in figura 9, in quanto i casi x_0 \in \{-\infty,+\infty\} si verificano in maniera analoga. Fissiamo \varepsilon>0 e osserviamo che, per l’ipotesi \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty, esiste \delta>0 con la proprietà che

(3)   \begin{equation*} f(x) > \frac{1}{\varepsilon} \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta) \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

Osserviamo innanzitutto che, poiché in particolare f non si annulla in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta) \setminus \{x_0\}, il rapporto \frac{1}{f(x)} è ben definito in questo insieme e inoltre x_0 è di nuovo un punto di accumulazione per esso.
Passando dunque ai reciproci in (3) si ha

(4)   \begin{equation*} 0 < \frac{1}{f(x)} < \varepsilon \qquad \forall x \in A \cap (x_0-\delta,x_0+\delta) \setminus \{x_0\}, \end{equation*}

che è la condizione al primo punto della tabella 1 con \ell=0.

Figura 9: rappresentazione dell’esercizio 9. Se \lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty, allora \lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)}=0.

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