Esercizi sulla verifica dei limiti 10

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 10   (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar).
Provare, usando la definizione, che il limite

    \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \sin x \end{equation*}

non esiste.

 

Svolgimento .

Fissiamo \ell \in \overline{\mathbb{R}} e mostriamo che esso non può essere il limite richiesto, distinguendo due casi.

  1. \ell \in \mathbb{R}. Mostriamo che non vale la condizione al punto 7 della tabella 1. A tal fine, fissiamo \varepsilon=\frac{1}{4} e scegliamo H \in \mathbb{R}; mostriamo che esiste \bar{x}>H con la proprietà che

    (3)   \begin{equation*} |f(\bar{x}) - \ell|\geq \frac{1}{4}. \end{equation*}

    La strategia è illustrata in figura 10.

    Figura 10: rappresentazione dell’esercizio 10. Poiché \operatorname{Im} \sin = [-1,1] e l’intorno \left (\ell-\frac{1}{4},\ell+\frac{1}{4}\right ), rappresentato in rosso, ha ampiezza \frac{1}{2}, esiste \bar{y} \in [-1,1] non appartenente a \left (\ell-\frac{1}{4},\ell+\frac{1}{4}\right ). Scegliendo x_1 tale che \sin(x_1)=\bar{y} e considerando \bar{x}=x_1+2k\pi per k sufficientemente grande, si ha \bar{x}>H e \sin \bar{x} \notin \left (\ell-\frac{1}{4},\ell+\frac{1}{4}\right ), provando dunque che \ell non è il limite richiesto.

    Osserviamo che l’intorno \left (\ell-\frac{1}{4},\ell+\frac{1}{4}\right ) di \ell ha ampiezza \frac{1}{2}. Poiché l’immagine della funzione \sin è l’intervallo [-1,1], che ha ampiezza 2, esiste \bar{y} \in [-1,1] \setminus \left (\ell-\frac{1}{4},\ell+\frac{1}{4}\right ) ed esiste x_1 \in \mathbb{R} tale che

    (4)   \begin{equation*} f(x_1)= \bar{y}. \end{equation*}

    Scegliamo ora k \in \mathbb{N} tale che

    (5)   \begin{equation*} x_1+2k\pi > H \end{equation*}

    e definiamo \bar{x}=x_1+2k\pi. Tale k certamente esiste in quanto la disuguaglianza è equivalente a k> \frac{H-x_1}{2\pi} e \mathbb{N} è illimitato superiormente. Si ha

    (6)   \begin{equation*} f(\bar{x}) = f(x_1 +2k\pi) = f(x_1) = \bar{y} \notin \left (\ell-\frac{1}{4},\ell+\frac{1}{4}\right ), \end{equation*}

    dove alla terza uguaglianza abbiamo sfruttato il fatto che la funzione \sin è periodica di periodo 2\pi.
    Riassumendo, abbiamo provato l’esistenza di \bar{x}>H tale che |f(\bar{x})-\ell|\geq \frac{1}{4}. Poiché H è arbitrario, abbiamo mostrato che non esiste alcun H \in \mathbb{R} soddisfacente la condizione 7 della tabella 1, provando dunque che \ell non è il limite richiesto.

  2. \ell =\pm\infty. Intuitivamente, se \ell\in \{-\infty,+\infty\} non può essere il limite richiesto, poiché sappiamo che la funzione \sin è limitata. Per provarlo rigorosamente, consideriamo il caso \ell=+\infty e mostriamo che non vale la condizione 9 della tabella 1: fissiamo M>1; poiché \sin x \leq 1 per ogni x \in \mathbb{R}, non può esistere alcun H \in \mathbb{R} tale che

    (7)   \begin{equation*} f(x)>M \qquad \forall x > H. \end{equation*}

    In maniera analoga si prova che \ell=-\infty non può essere il limite richiesto.