Verifica del limite: esercizio 8

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In questo ottavo articolo della raccolta Esercizi sulla verifica del limite presentiamo la verifica del limite di una funzione fratta. Rimandiamo all’esercizio precedente esercizio sulla verifica del limite 7 per la verifica di un limite di un’altra funzione fratta e a quello successivo esercizio sulla verifica del limite 9 per la verifica di un limite del reciproco di una funzione che tende a infinito.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Revisori: Matteo Talluri, Sergio Fiorucci.

Richiami di teoria sulla verifica del limite

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Si veda anche richiami di teoria sulla verifica dei limiti o l’articolo di Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Definizione 1 (limiti di funzioni) Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ un punto di accumulazione per $A$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ . Si dice che $\ell$ è il limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se, per ogni intorno $V$ di $\ell$ , esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che

(1) $\begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}$

In tal caso si scrive

(2) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}$

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui $x_0 \in \mathbb{R}$ , $x_0 = -\infty$ , $x_0=+\infty$ e $\ell \in \mathbb{R}$ , $\ell = -\infty$ , $\ell=+\infty$ .

Applicazioni della definizione 1 nei vari casi per la verifica del limite 8

Testo dell’esercizio

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ .
Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

$\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1+e^x} = 0. \end{equation*}$

Svolgimento 1

Occorre verificare che valga la condizione 7 della tabella 1 con $\ell=0$ . Fissiamo dunque $\varepsilon>0$ . Dal punto 2 dell’esercizio 5 esiste $H \in \mathbb{R}$ tale che