Verifica del limite: esercizio 5

Home » Verifica del limite: esercizio 5

In questo quinto articolo della raccolta Esercizi sulla verifica del limite presentiamo la verifica del limite della funzione esponenziale. Ricordiamo l’esercizio precedente esercizio sulla verifica del limite 4 e segnaliamo il successivo esercizio sulla verifica del limite 6 per la verifica del limite di una funzione logaritmica.

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Revisori: Matteo Talluri, Sergio Fiorucci.

Richiami di teoria sulla verifica del limite

Leggi...

Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Si veda anche richiami di teoria sulla verifica dei limiti o l’articolo di Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Definizione 1 (limiti di funzioni) Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ un punto di accumulazione per $A$ , sia $f \colon A \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ . Si dice che $\ell$ è il limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se, per ogni intorno $V$ di $\ell$ , esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che

(1) $\begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}$

In tal caso si scrive

(2) $\begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}$

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui $x_0 \in \mathbb{R}$ , $x_0 = -\infty$ , $x_0=+\infty$ e $\ell \in \mathbb{R}$ , $\ell = -\infty$ , $\ell=+\infty$ .

Applicazioni della definizione 1 nei vari casi per la verifica del limite 5

Testo dell’esercizio

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ .

Sia $a>1$ . Si provino i seguenti limiti applicando la definizione:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} a^x = 1$ ;
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$ ;
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} a^x = 0$ .

Cosa si può dire invece nel caso $a \in (0,1)$ ?

Discussione preliminare.

Nella soluzione utilizzeremo il seguente lemma.

Lemma 1 Sia $M>1$ e sia $\eta >0$ . Allora esiste $n \in \mathbb{N}$ per cui valga

(3) $\begin{equation*} M < (1+\eta)^n. \end{equation*}$

Inoltre, se $\eta \in (0,1)$ , allora vale anche

(4) $\begin{equation*} (1-\eta)^n < \frac{1}{M}. \end{equation*}$

Dimostrazione. La tesi seguirebbe immediatamente utilizzando i noti limiti delle progressioni geometriche. Ne diamo però una dimostrazione autocontenuta, che fa uso della disuguaglianza di Bernoulli:

(5) $\begin{equation*} (1+nx) \leq (1+x)^n \qquad \forall x >-1,\qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Essa può essere provata per induzione. Utilizzando tale disuguaglianza, si ha

(6) $\begin{equation*} (1+n\eta) \leq (1+\eta)^n \qquad \forall n \in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Poiché $1+n\eta>M$ è equivalente a $n > \frac{M-1}{\eta}$ e poiché $\mathbb{N}$ è illimitato superiormente, esiste $n \in \mathbb{N}$ soddisfacente $n > \frac{M-1}{\eta}$ . Da (6) segue quindi che $n$ soddisfa (3). Assumiamo ora che $\eta \in (0,1)$ e osserviamo che