Verifica del limite: esercizio 5
In questo quinto articolo della raccolta Esercizi sulla verifica del limite presentiamo la verifica del limite della funzione esponenziale. Ricordiamo l’esercizio precedente esercizio sulla verifica del limite 4 e segnaliamo il successivo esercizio sulla verifica del limite 6 per la verifica del limite di una funzione logaritmica.
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Richiami di teoria sulla verifica del limite
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(1)
In tal caso si scrive
(2)
Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui , , e , , .
Testo dell’esercizio
Sia . Si provino i seguenti limiti applicando la definizione:
- ;
- ;
- .
Cosa si può dire invece nel caso ?
Discussione preliminare.
Dimostrazione. La tesi seguirebbe immediatamente utilizzando i noti limiti delle progressioni geometriche. Ne diamo però una dimostrazione autocontenuta, che fa uso della disuguaglianza di Bernoulli:
(5)
Essa può essere provata per induzione. Utilizzando tale disuguaglianza, si ha
(6)
Poiché è equivalente a e poiché è illimitato superiormente, esiste soddisfacente . Da (6) segue quindi che soddisfa (3). Assumiamo ora che e osserviamo che
(7)
Da ciò e da (3), passando ai reciproci, segue che
(8)
ovvero (4).
Svolgimento punto 1.
(9)
Da ciò e dalla monotonia della funzione esponenziale segue la disuguaglianza (rappresentata in figura 5a)
(10)
da cui otteniamo la tesi.
Figura 5a: rappresentazione del punto 1 dell’esercizio 5. In blu è rappresentato il grafico della funzione esponenziale, in rosso è rappresentato l’intorno di e in verde è rappresentato l’intorno di .
Svolgimento punto 2.
(11)
Per la monotonia della funzione esponenziale, vale dunque
(12)
ossia quanto si voleva provare, scegliendo .
Svolgimento punto 3.
(13)
dove abbiamo usato il fatto che per ogni . Dal punto 2, sappiamo che esiste tale che
(14)
Passando ai reciproci, si ha dunque
(15)
cioè quanto volevamo dimostrare, a meno di sostituire con .
Domanda finale.
(16)
Osservazione.
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