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Verifica del limite: esercizio 4

Verifica del limite in funzioni

Home » Verifica del limite: esercizio 4

In questo quarto articolo della raccolta Esercizi sulla verifica del limite presentiamo la verifica del limite di una funzione discontinua. Rimandiamo all’esercizio precedente esercizio sulla verifica del limite 3 e a quello successivo esercizio sulla verifica del limite 5 per ulteriore materiale.

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Revisori: Matteo Talluri, Sergio Fiorucci.

 

Richiami di teoria sulla verifica del limite

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Si veda anche richiami di teoria sulla verifica dei limiti o l’articolo di Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Definizione 1 (limiti di funzioni)  Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1) \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

Applicazioni della definizione 1 nei vari casi per la verifica del limite 4

Definizione 2 (limiti destri e sinistri) ; Siano A\subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in {\mathbb{R}} un punto di accumulazione sinistro per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite sinistro di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste \delta>0 tale che

(3) \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in (x_0-\delta,x_0) \cap A . \end{equation*}

In tal caso si scrive

(4) \begin{equation*} \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell. \end{equation*}

Analogamente si definisce il limite destro di f per x \to x_0 ed esso si indica con \displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x).

 

Proposizione 1 Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 un punto di accumulazione sinistro e destro per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

  • \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)= \ell;
  • \displaystyle \lim_{x \to x_0^+} f(x)= \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell.

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).

Si verifichino, mediante la definizione, i seguenti limiti:

  1. \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty;
  2. \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0;
  3. \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}.

 

Premessa

Risolviamo i diversi punti separatamente. L’esercizio riguarda lo studio dei limiti della funzione f \colon \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} definita da

(5) \begin{equation*} f(x) = \frac{1}{x} \qquad \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \end{equation*}

il cui grafico è rappresentato in figura 4a. Osserviamo che ogni numero reale è un punto di accumulazione destro e sinistro del dominio \mathbb{R} \setminus \{0\} di f; inoltre anche +\infty è un punto di accumulazione del dominio di f, essendo quest’ultimo illimitato superiormente. Dunque i limiti richiesti dalla traccia sono significativi e possono essere studiati.

Grafico della funzione f

Figura 4a: la funzione f dell’esercizio 4.

 

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