Esercizi sulla verifica dei limiti 1

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

 

Testo dell’esercizio

Esercizio 1   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)

Sia f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la funzione costante definita da f(x)=3 per ogni x \in \mathbb{R}.

  1. Provare che \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)=3, per qualsiasi x_0 \in \mathbb{R};
  2. Provare che \displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=3;
  3. Provare che \displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=3.

 

Svolgimento.

Il grafico della funzione f è rappresentato in blu in figura 1.

Figura 1: la funzione f dell’esercizio 1. In rosso è evidenziato l’intorno V=(3 - \varepsilon,3+\varepsilon) di 3. Poiché f(x)=3 per ogni x \in \mathbb{R}, ciò è in particolare vero se x appartiene a un certo intorno U_{x_0} di x_0.

 

Fissiamo \varepsilon>0 e consideriamo quindi l’intorno V=(3 - \varepsilon,3+\varepsilon) di 3. Poiché f(x)=3 per ogni x \in \mathbb{R}, banalmente si ha

(3)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

In particolare, se U_{x_0} è un intorno di un punto x_0 \in \overline{\mathbb{R}}, da (3) segue

(4)   \begin{equation*} f(x) \in (3 - \varepsilon,3+\varepsilon) \qquad \forall x \in U_{x_0}, \end{equation*}

come evidenziato in figura 1. Ciò mostra che vale la condizione richiesta dalla definizione 1 per qualsiasi x_0 \in \overline{\mathbb{R}}, cioè la tesi di tutti i punti dell’esercizio.