Esercizi sulla verifica dei limiti 2

Verifica del limite in funzioni

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Presentiamo nel seguito i richiami di teoria utili allo svolgimento dell’esercizio. Per richiami più completi si veda la dispensa richiami di teoria.

Definizione 1 (limiti di funzioni) 
Sia A \subseteq \mathbb{R}, sia x_0 \in \overline{\mathbb{R}} un punto di accumulazione per A, sia f \colon A \to \mathbb{R} una funzione e sia \ell \in \overline{\mathbb{R}}. Si dice che \ell è il limite di f per x che tende a x_0 se, per ogni intorno V di \ell, esiste un intorno U di x_0 tale che

(1)   \begin{equation*} f(x) \in V \qquad \forall x \in U \cap A \setminus \{x_0\}. \end{equation*}

In tal caso si scrive

(2)   \begin{equation*} \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell. \end{equation*}

Risulta utile vedere come si scrive esplicitamente la definizione 1 suddividendo le casistiche in cui x_0 \in \mathbb{R}, x_0 = -\infty, x_0=+\infty e \ell \in \mathbb{R}, \ell = -\infty, \ell=+\infty.

Testo dell’esercizio

Esercizio 2   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).
Sia f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la funzione definita da

    \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 2 & \text{se $x \neq 0$}\\ 1 & \text{se $x = 0$}. \end{cases} \end{equation*}

Verificare, mediante la definizione, il seguente limite:

    \begin{equation*} \lim_{x \to 0} f(x) = 2. \end{equation*}

 

Svolgimento.

Il grafico della funzione f è rappresentato in blu in figura 2.

Figura 2: la funzione f dell’esercizio 2. In rosso è evidenziato l’intorno V=(2 - \varepsilon,2+\varepsilon) di \ell=2. Da f(x)=2 per ogni x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, segue che \ell=\lim_{x \to 0} f(x)=2. Si noti che \ell \neq f(0).

 

Poiché x_0, \ell \in \mathbb{R} dobbiamo verificare la validità della formula del primo caso della tabella 1, con x_0=0 e \ell=2. Fissiamo dunque \varepsilon>0; poiché f(x)=2 per ogni x \neq 0, scegliendo un qualunque \delta>0 vale

(3)   \begin{equation*} x \in (-\delta,\delta) \setminus \{0\} \implies |f(x)-2| = 0 < \varepsilon. \end{equation*}

Per l’arbitrarietà di \varepsilon abbiamo dunque la conclusione.