Teorema di Ascoli-Arzela
In questa articolo è possibile scaricare la dimostrazione del teorema di Ascoli-Arzela.
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Descrizione
In questa articolo è possibile scaricare la dimostrazione del teorema di Ascoli-Arzela. Il teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni di numeri reali afferma che una successione limitata possiede un’estratta convergente. Viene naturale chiedersi se valga un analogo risultato nel campo delle successioni di funzioni. Il teorema di Ascoli-Arzelà costituisce precisamente questa generalizzazione: sotto opportune ipotesi afferma che una successione di funzioni limitata possiede un’estratta uniformemente convergente. La sua dimostrazione fa uso della cosiddetta procedura diagonale, che consente di estrarre sottosuccessioni convergenti da una famiglia di successioni numeriche.
La dispensa è una breve ed essenziale introduzione all’argomento, che lo spiega in maniera chiara e accessibile, costituendo una guida preziosa su questi aspetti chiave dell’Analisi Matematica.
Consigliamo la lettura dei seguenti articoli di teoria collegata, il primo dei quali è una risorsa completa sulle successioni di funzioni:
- Successioni di funzioni – Teoria;
- Convergenza puntuale;
- Convergenza uniforme;
- Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme;
- Limite uniforme di funzioni continue;
- Scambio di limiti per la convergenza uniforme;
- Convergenza uniforme e successioni numeriche;
- Passaggio al limite sotto il segno di integrale;
- Limite uniforme di funzioni derivabili;
- Piccolo teorema del Dini;
- Monotonia e convergenza uniforme;
- Equilimitatezza;
- Modulo di continuità ed equicontinuità.
Segnaliamo inoltre l’esaustivo articolo Successioni di funzioni – Esercizi, contenente 42 esercizi di varia natura, ordinati per difficoltà crescente, su ogni aspetto delle successioni di funzioni. Buona lettura!
Teorema di Ascoli-Arzela: autori e revisori
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Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.
Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica
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- Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
- Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
- MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
- PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
- Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
- The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
- Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
- Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
- Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
- Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.
