Integrali definiti – Esercizi
In questo articolo presentiamo 60 esercizi sugli integrali definiti. I problemi sono completamente risolti, al fine di garantire al lettore la possibilità di comprendere nei dettagli i passaggi e le tecniche di soluzione.
La raccolta è quindi indicata per studenti di Analisi Matematica 1 e per appassionati che desiderano una panoramica completa su questo importante e affascinante argomento.
Oltre all’esaustiva lista alla fine dell’articolo, segnaliamo il seguente materiale teorico di riferimento:
- Integrali definiti e indefiniti;
- Teorema fondamentale del calcolo integrale;
- Integrali ricorsivi;
- Teoria sugli integrali impropri.
Ulteriori esercizi sull’integrazione possono essere reperiti alle seguenti pagine:
- Esercizi misti sugli integrali indefiniti;
- Esercizi sugli integrali impropri – 1
- Esercizi sugli integrali impropri – 2.
Buona lettura!
Sommario
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Pensata per studenti di ingegneria, fisica e matematica, la struttura è progettata per favorire un allenamento dinamico e diversificato, evitando un approccio meccanico alla risoluzione. Gli esercizi non sono in ordine sequenziale, ma organizzati in modo misto per incoraggiare la flessibilità nell’applicazione delle tecniche. Ogni passaggio è spiegato dettagliatamente, senza dare nulla per scontato, per garantire una piena comprensione delle metodologie impiegate.
Autori e revisori
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Richiami teorici
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Per la teoria si rimanda alla lettura di teoria integrali definiti e indefiniti.
Testi degli esercizi
Svolgimento.
(1)
Dunque
da cui
Tornando all’integrale definito si conclude che
(2)
Quindi
Svolgimento.
Si ha1
(3)
con , , e costanti, si osserva :
L’identità risulta verifica se
Quindi
Si conclude che
(4)
Perciò
(5)
Dunque
-
Teorema. Siano e due polinomi su tali che il grado di sia minore di quello di , e sia:
la rappresentazione di in fattori irriducibili. Allora esiste un’unica rappresentazione di della forma:
dove
e è un polinomio di grado minore di quello di . ↩
Svolgimento.
(6)
Risolviamo l’integrale ottenuto per sostituzione. Posto
l’integrale diventa
Risolviamo ora il seguente integrale indefinito
Segue che
da cui
dove
Svolgimento.
Si osserva che .
Chiamando la funzione integranda , si nota che pertanto la funzione integranda è dispari su intervallo simmetrico rispetto all’origine, quindi:
Svolgimento.
(7)
Calcoliamo :
(8)
da cui concludiamo che
Allora
(9)
Quindi
(10)
Svolgimento punto a.
(11)
Allora
Svolgimento punto b.
Si osserva che perché la funzione integranda è dispari su intervallo simmetrico rispetto all’origine, inoltre perchè la funzione integranda è pari su un intervallo simmetrico rispetto all’origine. Non ci resta che calcolare il seguente integrale
Si conclude che
Svolgimento.
Decomponiamo la frazione come segue
(12)
Per ricavare e possiamo imporre il seguente sistema
Si trova facilmente . L’integrale così diventa:
(13)
In conclusione
Svolgimento.
(14)
Posto l’integrale diventa
(15)
Possiamo decomporre in fratti semplici come segue
infatti impostando
abbiamo
da cui
Allora l’integrale diventa
(16)
Si ricorda la seguente relazione notevole
Allora
Si conclude che
Svolgimento.
e posto con abbiamo
(17)
decomponiano la funzione integranda come segue
da cui
e per il principio di identità dei polinomi abbiamo
che ha soluzione
dunque
(18)
Si conclude che
Svolgimento.
Quindi possiamo riscrivere l’integrale come segue
da cui
(19)
Si conclude che
Svolgimento.
(20)
Calcoliamo separatamente i due integrali. Partendo da e operando le formule parametriche2 otteniamo
da cui
quindi diventa3
Riscriviamo come segue
(21)
e dunque è dato da
(22)
Ora calcoliamo 4
Dunque concludiamo che
-
Le formule parametriche sono le seguenti
(23)
-
Per il calcolo di sfruttiamo la regola di bisezione della tangente, ovvero
(24)
e applicando la precedente abbiamo
-
Sfruttiamo la seguente regola di integrazione
Svolgimento.
da cui
Con la sostituzione precedente, l’integrale diventa
integrando per parti, si ha
(25)
Che è equivalente a
(26)
Si conclude che
calcolare
esprimendo il risultato in termini di .
Svolgimento.
allora abbiamo
(27)
Si conclude che
calcolare
esprimendo il risultato in termini di .
Svolgimento.
Svolgimento.
e
da cui
(29)
Allora
dove .
Svolgimento.
dove .
Svolgimento.
Svolgimento.
Svolgimento.
da cui possiamo determinare il differenziale
L’integrale diventa
(42)
Dunque concludiamo che
Svolgimento.
Quindi
(43)
Ricordiamo, in generale, che l’integrale su metà periodo della funzione coseno è zero, ossia sull’intervallo di integrazione . Questo risultato si può estendere anche in caso di una dilatazione o contrazione del coseno. Infatti, la funzione ha periodo , e pertanto anche in questo caso l’integrale sull’intervallo della funzione risulta essere zero.
È importante osservare che non stiamo affermando che l’integrale su metà periodo di una qualsiasi funzione periodica sia zero, ma solo in questo caso specifico con la funzione coseno. Si pensi, ad esempio, alla funzione seno: l’integrale su metà periodo non è zero, ma vale 2. In particolare essendo , quindi
Si conclude che
In modo analogo ricordando la seguente relazione
e sfruttando le considerazioni fatte si ha che
Quindi
Dimostrare che
(44)
Svolgimento.
Svolgimento.
Svolgimento.
- Si vuole calcolare la primitiva di utilizzando l’integrazione per parti:
L’ultimo integrale è
Quindi, abbiamo
Sommando i risultati, otteniamo
Infine
dove è la costante di integrazione.
Dunque, sappiamo che una primitiva di è , di conseguenza
- Posto , , dunque
- Siccome la funzione integranda è pari
- Siccome la funzione integranda è dispari e l’intervallo di integrazione è simmetrico rispetto all’origine, concludiamo che
Svolgimento.
(56)
Svolgimento.
Svolgimento.
(61)
e
(62)
per cui
(63)
Pertanto
(64)
Si conclude che
(65)
Svolgimento.
(66)
Ora osserviamo che
(67)
quindi
(68)
dove in abbiamo usato l’integrale indefinito notevole e abbiamo usato l’identità notevole per .
Si conclude dunque
(69)
Svolgimento.
Svolgimento.
Svolgimento.
da cui
(80)
dove in abbiamo notato che e abbiamo applicato l’integrale notevole .
Si conclude che
Svolgimento.
(81)
Per il primo integrale
Per il secondo integrale, utilizziamo la formula:
con . Quindi:
Infine, combinando i risultati:
Svolgimento.
Riscriviamo il denominatore per completamento del quadrato
Ora, effettuiamo la seguente sostituzione
Pertanto, l’integrale diventa:
Questo è un integrale standard che porta alla soluzione logaritmica:
Sostituendo i valori dei limiti di integrazione
(82)
Quindi, la soluzione finale è
Svolgimento.
Ora, risolviamo in parti. Definiamo e . Abbiamo
Calcoliamo il primo termine
Il secondo integrale può essere scritto come
Integrando separatamente
Calcoliamo
Sostituendo tutti i risultati, otteniamo
Pertanto, la soluzione finale è
Svolgimento.
Calcoliamo ora l’integrale
Sostituendo i limiti di integrazione
Pertanto, la soluzione finale è
Svolgimento.
Ora calcoliamo il primo termine valutando ai limiti di integrazione. Quando , abbiamo , quindi il termine diventa . Quando , abbiamo , e quindi . Pertanto, il primo termine è nullo.
Ci rimane ora il secondo integrale
Semplificando, diventa:
Poniamo , da cui , conseguentemente , di conseguenza . Usando quanto detto otteniamo
(83)
Si conclude che
Svolgimento.
Ora cambiamo i limiti di integrazione. Quando , si ha , e quando , si ha . Pertanto, i nuovi limiti di integrazione sono da a .
Sostituendo la variabile con , l’integrale diventa:
Per semplificare ulteriormente, utilizziamo l’identità trigonometrica , che ci permette di riscrivere l’integrale come
Scomponiamo l’integrale in due parti:
Il primo integrale è semplice da risolvere
Per il secondo integrale, utilizziamo la formula . Valutiamo l’integrale tra e :
Sommiamo i risultati ottenuti:
Pertanto, il risultato finale dell’integrale definito è
Svolgimento.
Ora effettuiamo una seconda sostituzione , da cui segue e . L’integrale diventa:
(84)
Si conclude che Il risultato finale sarà:
Svolgimento.
Applichiamo l’integrazione per parti, con e , da cui e . Applicando la formula dell’integrazione per parti:
(85)
Quindi, la soluzione dell’integrale è
Svolgimento.
Il primo termine, , è una funzione pari, poiché è una funzione pari e il numeratore è una costante
Poiché una funzione pari integrata su un intervallo simmetrico ha come proprietà
possiamo scrivere
Il secondo termine, invece, , è una funzione dispari, poiché è una funzione dispari e è pari
Per una funzione dispari integrata su un intervallo simmetrico, l’integrale è nullo
Quindi, l’integrale richiesto diventa
Applichiamo la sostituzione
Ora possiamo scomporre il termine
Determinando i coefficienti, troviamo che
Sostituendo e integrando, otteniamo
Infine, valutando l’integrale nei limiti di integrazione, troviamo
Svolgimento.
Pertanto, il quadrato di questo termine diventa
Sostituendo questa espressione nell’integrale originale, si ottiene
A questo punto, possiamo suddividere l’integrale in tre parti
Il primo integrale è semplice da risolvere
Nel caso del secondo integrale, si nota che il risultato è noto e standard
Moltiplicando per 2
Per l’ultimo integrale, che contiene , utilizziamo anch’esso un risultato standard
Ora sommiamo i risultati dei tre integrali
Semplificando l’espressione
I termini si cancellano, lasciando
Infine, la soluzione dell’integrale è
Svolgimento.
e
Da questa osservazione, risulta chiaro che la funzione è costante a tratti su ciascun intervallo in cui è costante.
Procediamo ora scomponendo l’integrale in una somma di integrali su intervalli dove la funzione rimane costante. In questo modo, l’integrale diventa
Ora possiamo risolvere ciascun integrale separatamente. Per ogni , il calcolo del singolo integrale dà
mentre per l’ultimo integrale, otteniamo
Sommiamo ora i risultati ottenuti per ciascun integrale. Si ha
Semplificando i singoli termini della somma
Infine, sommiamo i termini frazionari ottenuti
La soluzione finale è dunque
Svolgimento punto 1.
Poniamo , quindi . L’integrale diventa:
(86)
Pertanto la soluzione è
Svolgimento punto 2.
(87)
Quindi la soluzione dell’integrale è
Svolgimento punto a.
Si applica la formula di integrazione per parti, scegliendo e , per cui e . Per questo, l’integrale è
Si conclude che
Svolgimento punto b.
Posto , per cui e gli estremi di integrazione non cambiano. Con questa sostituzione, l’integrale diventa
Si conclude che
Svolgimento.
Svolgimento.
Svolgimento.
Si osserva che senza perdita di generalità possiamo assumere che . Infatti la disuglianza è invariante per Ricordiamo che :
E inoltre
Allora
(93)
e sia
l’inversa di .
Per ogni coppia numeri positivi, con
(94)
Svolgimento.
poniamo ottenendo
Ora integriamo per parti
e, con quanto appena ottenuto, abbiamo
(95)
Sappiamo che è crescente in e che , quindi vale la seguente disuguaglianza:
(96)
quindi usando (96) in (95) abbiamo
(97)
Ora sia con funzione inversa per , da (94)abbiamo
(98)
con e .
La disuguaglianza (94) prende il nome di disuguaglianza di Young e nel caso particolare in cui e la funzione inversa la (94) diventa:
(99)
e posto
otteniamo
Svolgimento.
(100)
Notiamo ora che l’integrale originario e quello trasformato sono identici, sebbene i numeratori siano scambiati ( e ). Questo avviene perché la sostituzione ha semplicemente cambiato le variabili, ma l’integrale rimane invariato nel dominio da 0 a . Possiamo quindi definire l’integrale come
sapendo che questo è uguale anche all’integrale con al numeratore
Ora possiamo sommare i due integrali
(101)
Dato che , otteniamo
Si conclude che
(102)
Svolgimento punto a.
Svolgimento punto b.
Svolgimento punto c.
(106)
e sapendo che valgono le seguenti diseguaglianze
(107)
si ha
(108)
quindi per il teorema del confronto concludiamo che
- .
Svolgimento punto 1.
(109)
avendo posto in . La funzione integranda di è pari e l’intervallo è simmetrico rispetto all’origine, quindi
(110)
mentre la funzione integranda di è dispari su un intervallo simmetrico rispetto all’origine, quindi
(111)
Possiamo riscrivere come segue
(112)
dove in abbiamo usato le formule parametriche, in sfruttiamo l’integrale notevole ed infine in abbiamo utilizzato la nota identità per .
Si conclude che
Svolgimento punto 2.
(113)
da cui
(114)
Si conclude che
Svolgimento.
in modo che
- La funzione sia pari ;
- ;
Svolgimento punto 1.
Svolgimento punto 3.
Svolgimento punto a.
(122)
Operando la seguente sostituzione
(123)
segue che
(124)
da cui
(125)
Decomponendo in fratti semplici si dimostra facilmente che
(126)
quindi
(127)
Concludiamo che
Svolgimento punto b.
(128)
Ora riscriviamo come segue
(129)
e osserviamo che
(130)
pertanto
(131)
Il risultato appena ottenuto si può scrivere in modo più compatto ricordando la seguente relazione
(132)
cioè
(133)
Concludiamo che
Svolgimento.
che è la somma di infiniti rettangoli di base e altezza con . A tal proposito consideriamo la seguente figura.
dalla quale si deduce che
(134)
passando al limite per
da cui, per il teorema del doppio confronto, abbiamo
perchè
Si conclude che
Svolgimento punto a.
si ha
(135)
Sfruttando le simmetrie diventa
(136)
Quindi
da cui segue l’asserto.
Svolgimento punto b.
Prima sostituzione: da cui segue
Seconda sostituzione:
ed infine terza sostituzione: , ottenendo così
Ora procediamo sviluppando i calcoli e perciò applichiamo la formula di somma e sottrazione per la tangente
(137)
Quindi
Svolgimento.
quindi
Sfruttando le simmetrie si ha
(138)
e
Pertanto abbiamo
e ricordando che è pari e sviluppando i calcoli otteniamo
(139)
Dal momento che , quanto ottenuto precedentemente diventa
sia verificata per ogni funzione : di classe tale che .
Svolgimento.
Si osservi che presenta le seguenti caratteristiche e per ogni Notiamo ora che
(140)
e
(141)
Calcoliamo :
(142)
Procedendo in modo analogo ad si trova
Pertanto sfruttando quando ottenuto si ottiene
(143)
Applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz13 si trova
(144)
da cui
(145)
Presentiamo ora una funzione14 : definita come segue
(146)
per cui la (145) diventa un uguaglianza. La funzione è pari e . Inoltre
(147)
e
(148)
Nonostante la funzione sia definita a tratti, è su . Integrando possiamo calcolare
(149)
Inoltre
(150)
da cui
(151)
Quindi abbiamo una funzione per la quale la disuguaglianza è di fatto un’uguaglianza, mostrando che la costante 10 è la costante massima possibile.
-
Siano due funzioni a quadrato integrabili sul proprio dominio. Allora vale la seguente disuguaglianza:
- Per determinare la funzione bisogna chiedersi quando la disuguaglianza utilizzata nel passaggio (144) diventa un’uguaglianza. Questo avviene quando le due funzioni sono una multipla dell’altra, ad esempio per cui la disuguaglianza (144). Integrando, imponendo la continuità di e e che , si trova l’espressione (146) di . ↩
Richiami teorici.
Per applicare il trucco di Feynman, seguiamo i seguenti passaggi.
- Introduzione di un parametro
Il primo passo consiste nell’introdurre un parametro reale all’interno dell’integrale, modificando la funzione integranda affinché dipenda da questo nuovo parametro. L’integrale originale viene così trasformato in una funzione che dipende da , che possiamo indicare con , chiamando l’integrale da calcolare . L’introduzione del parametro non è legata a una necessità fisica o pratica, ma ha lo scopo di semplificare i calcoli successivi.
Ad esempio, se abbiamo l’integrale
possiamo trasformarlo nella forma:
dove è una versione modificata della funzione integranda originale.
- Derivazione rispetto al parametro
Dopo aver introdotto il parametro, si procede derivando l’integrale rispetto a . Questo sfrutta la regola di Leibniz per derivare integrali dipendenti da un parametro. Così facendo, l’integrale diventa:
La derivata rispetto al parametro semplifica spesso l’integrale, rendendo il calcolo più agevole.
- Risoluzione dell’integrale derivato
Dopo aver derivato l’integrale, ci ritroviamo con un integrale più semplice da risolvere rispetto a quello originale. Questo integrale può essere risolto con i metodi tradizionali, come l’integrazione di funzioni razionali, esponenziali o trigonometriche.
- Integrazione rispetto al parametro
Una volta risolto l’integrale derivato, si reintegra rispetto a per ottenere la funzione . Questo passaggio ci riporta al valore dell’integrale originale. Spesso, la reintegrazione porta a espressioni che includono funzioni note, come l’arctan o i logaritmi, che semplificano ulteriormente il calcolo
- Determinazione della costante di integrazione:
La reintegrazione produce in genere una costante di integrazione . Per determinare questa costante, valutiamo l’integrale per un valore specifico di , come o un altro valore per cui l’integrale è facilmente calcolabile
- Valutazione finale dell’integrale:
Una volta determinata la costante di integrazione, si valuta l’integrale per il valore desiderato del parametro, ottenendo così la soluzione finale dell’integrale originale.
Svolgimento.
Derivando rispetto ad si ottiene
Calcolando i due integrali si trova:
Integrando rispetto ad si ha
Anche questi ultimi integrali sono immediati perché compaiono le funzioni e\\ con le rispettive derivate.
Dunque
Inoltre, chiaramente,
e in definitiva
che valutata in 15 dà
cioè l’asserto.
- Si ricorda che e . ↩
Svolgimento punto a.
Operiamo la sostituzione su e otteniamo
Sfruttando quanto ottenuto si ha
(153)
Si conclude che
Svolgimento punto b.
Operiamo la sostituzione su e otteniamo
(154)
Operiamo una nuova sostituzione sempre su e otteniamo
(155)
Da cui
(156)
Sfruttando i fatti ottenuti si ha
Si conclude che
dove
Svolgimento.
Per si ottiene
Mentre per
(157)
Riassumendo, la funzione corrispondente è definita come
Riferimenti bibliografici
[1] Apostol, T., Calculus, Vol. 1, Wiley, (1967).
[2] Giusti, E., Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, (2003).
[3] Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, (1976).
[4] Bartle, R. G., Introduction to Real Analysis, Wiley, (2011).
[5] Abbagnano, G. & Togliatti, G., Esercizi di Analisi Matematica 1, Zanichelli, (1990).
[6] Gilardi, G., Esercizi di Analisi Matematica 1, Pitagora Editrice, (2011).
[7] Isola, T., Corso di Analisi Matematica I, Università di Tor Vergata.
[8] Tauraso, R., Corso di Analisi Matematica I, Università di Tor Vergata.
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