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Teoria delle serie di potenze

Dispensa scaricabile sulla teoria delle serie di potenze di 28 pagine.

5,60 €

Teoria delle serie di potenze

Descrizione

Dispensa scaricabile sulla teoria delle serie di potenze di 28 pagine. Il concetto di serie di potenze formalizza l’idea intuitiva di polinomio di grado infinito; infatti una serie di potenze centrata in x_0 è la serie di funzioni definita da

    \[\sum_{k=0}^{+\infty} a_k (x-x_0)^k.\]

Rispetto alle serie di funzioni generiche, le serie di potenze hanno proprietà peculiari, allo stesso modo in cui i polinomi hanno proprietà molto particolari rispetto alle funzioni generiche: esse infatti ereditano opportune versioni delle proprietà dei polinomi. Questa dispensa è un’introduzione alla teoria delle serie di potenze reali, che tratta i seguenti argomenti:

  • Raggio di convergenza di una serie di potenze;
  • Criteri della radice e del rapporto per la determinazione del raggio di convergenza di una serie di potenze;
  • Raggio di convergenza della serie delle derivate e degli integrali; integrazione e derivazione di una serie di potenze;
  • Funzioni analitiche, criteri di analiticità;
  • Ulteriori approfondimenti: una versione generale del criterio della radice che utilizza il concetto di \limsup di una successione, il comportamento agli estremi dell’intervallo di convergenza stabilito dai teoremi di Abel, un esempio di funzione liscia ma non analitica in alcun punto, principio di continuazione unica e di identità delle funzioni analitiche.

La suddivisione del materiale permette sia di seguire un corso base nelle prime sezioni, sia di approfondire l’argomento con i risultati dell’ultima sezione. Ogni punto viene esplorato mediante esempi chiarificatori, che aiutano a comprendere ed assimilare la teoria. Se desideri un approccio chiaro, intuitivo ed essenziale all’argomento, non ti resta che continuare la lettura!

Oltre agli esercizi sulle serie di potenze, segnaliamo la nostra raccolta di esercizi sulle successioni di funzioni, contenenti 42 problemi, ordinati per difficoltà crescente, su tutte le sfumature di questo importante argomento, propedeutico alla comprensione delle serie di potenze.

Evidenziamo anche gli utili articoli riguardanti la teoria collegata:

 

Indice

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Teoria delle serie di potenze

 

Teoria delle serie di potenze: sommario

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Questa dispensa è un’introduzione alla teoria delle serie di potenze. La prima parte costituisce un corso base sull’argomento e discute la nozione di raggio di convergenza e i relativi criteri, la derivazione e integrazione delle serie di potenze e le funzioni analitiche. Nella seconda parte abbiamo raccolto alcuni complementi che forniscono del materiale per un corso più approfondito.

 

Teoria delle serie di potenze: autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi

Revisori: Valerio Brunetti, Sara Sottile, Matteo Talluri.

 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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