Testi esercizi somma di una serie

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Esercizio 1. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(1) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^n\dfrac{n+2}{n+1}x^{2n}, \end{equation*}$

per ogni $x\in(-1,1)$ .

Svolgimento esercizio 1.

Esercizio 2. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(2) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\left(\dfrac{n!+1}{\left(n+1\right)!}\right). \end{equation*}$

Svolgimento esercizio 2.

Esercizio 3. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(3) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(ne^{\frac{1}{n}}-n\right)^{2n}. \end{equation*}$

Svolgimento esercizio 3.

Esercizio 4. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(4) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n!}\right)x^n \end{equation*}$

per ogni $x\in\mathbb{R}$ .

Svolgimento esercizio 4.

Esercizio 5. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(5) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}\,x^n \end{equation*}$

per ogni $x\in(-1,1)$ .

Svolgimento esercizio 5.

Esercizio 6. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(6) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-16)^n}{2n+1}. \end{equation*}$

Svolgimento esercizio 6.

Esercizio 7. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(7) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{2n-1}}{9^n} \end{equation*}$

per ogni $x\in (-3,3)$ .

Svolgimento esercizio 7.

Esercizio 8. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(8) $\begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{\left(5x\right)^n}{\left(n+1\right)!} \end{equation*}$

per ogni $x\in \mathbb{R}$ .

Svolgimento esercizio 8.

Esercizio 9. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(9) $\begin{equation*} \sum_{n=6}^{+\infty}\left(\dfrac{\left(-1\right)^{n-1}}{n}+\dfrac{n}{n!}\right). \end{equation*}$

Svolgimento esercizio 9.

Esercizio 10. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(10) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}ne^{-nx} \end{equation*}$

per ogni $x\in (0,+\infty)$ .

Svolgimento esercizio 10.

Esercizio 11. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(11) $\begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\left(n\left(n-1\right)x^{n-1}+\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\right) \end{equation*}$

per ogni $x\in (-1,1)$ .

Svolgimento esercizio 11.

Esercizio 12. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(12) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2+2}{n!}. \end{equation*}$

Svolgimento esercizio 12.

Esercizio 13. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(13) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^nx^{2n}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)} \end{equation*}$

per ogni $x\in [-1,1]$ .

Svolgimento esercizio 13.

Esercizio 14. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(14) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}\right) \end{equation*}$

per ogni $x\in [-1,1]$ .

Svolgimento esercizio 14.

Esercizio 15. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(15) $\begin{equation*} \sum_{n=4}^{+\infty}\dfrac{x^n}{\left(n-1\right)!} \end{equation*}$

per ogni $x\in \mathbb{R}$ .

Svolgimento esercizio 15.

Esercizio 16. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(16) $\begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\left(nx^{n-1}+2\left(-1\right)^nn\,x^{2n-1}\right) \end{equation*}$

per ogni $x\in (-1,1)$ .

Svolgimento esercizio 16.

Esercizio 17. $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(17) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n-1\right)!!}{\left(2n+1\right)\left(2n\right)!!} \end{equation*}$

per ogni $x \in (1,2)$ .

Svolgimento esercizio 17.