Esercizio 7 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 7.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{2n-1}}{9^n} \end{equation*}

per ogni x\in (-3,3).

 

Svolgimento. Si osserva che per x=0 la serie (1) vale zero; inoltre riscriviamo (1) come segue

(2)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{2n-1}}{9^n}=\dfrac{1}{x}\sum_{n=1}^{+\infty}n\left(\dfrac{x^2}{9}\right)^n. \end{equation*}

Si ricorda che

(3)   \begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}t^n=\dfrac{1}{1-t} \end{equation*}

per ogni t\in (-1,1); assumendo d’ora in poi che t\neq 0, e moltiplicando ambo i membri di (3) per t, si ottiene

(4)   \begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}t^{n+1}=\dfrac{t}{1-t}, \end{equation*}

e derivando ambo i membri di (4), si ha

    \[\dfrac{1}{\left(1-t\right)^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(n+1\right)t^n=\sum_{n=0}^{+\infty}n\,t^n+\sum_{n=0}^{+\infty}t^n=\sum_{n=0}^{+\infty}n\,t^n+\dfrac{1}{1-t},\]

cioè

(5)   \begin{equation*} \sum_{n=0}^{+\infty}n\,t^n=\dfrac{1}{\left(1-t\right)^2}-\dfrac{1}{1-t}=\dfrac{t}{\left(1-t\right)^2}. \end{equation*}

Sostituendo t=\dfrac{x^2}{9} in (5) si giunge alla seguente scrittura

    \[\sum_{n=0}^{+\infty}n\left(\dfrac{x^2}{9}\right)^n=\dfrac{\dfrac{x^2}{9}}{\left(1-\dfrac{x^2}{9}\right)^2}=\dfrac{9x^2}{\left(9-x^2\right)^2},\]

da cui

    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{2n-1}}{9^n}=\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{9x^2}{\left(9-x^2\right)^2}\right)=\dfrac{9x}{\left(9-x^2\right)^2},\]

i.e.

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{2n-1}}{9^n}=\begin{cases} \dfrac{9x}{\left(9-x^2\right)^2}\quad &\text{per}\,\, x\in (-3,0)\cup (0,3);\\ 0&\text{per}\,\,x=0. \end{cases}=\dfrac{9x}{\left(9-x^2\right)^2}\quad &\text{per}\,\, x\in (-3,3)}\]

 

Fonte: clicca qui