Esercizio 8 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 8.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{\left(5x\right)^n}{\left(n+1\right)!} \end{equation*}

per ogni x\in \mathbb{R}.

 

Svolgimento. Si ricorda il seguente fatto

(2)   \begin{equation*} e^{ax}=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^n}{n!}x^n \end{equation*}

per ogni x\in\mathbb{R} e a>0. Riscriviamo (2) come segue

(3)   \begin{equation*} e^{ax}-1-ax-\dfrac{a^2x^2}{2}=\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{a^nx^n}{n!} \end{equation*}

da cui, integrando ambo i membri di (3), si ha

(4)   \begin{equation*} \dfrac{e^{ax}}{a}-x-\dfrac{ax^2}{2}-\dfrac{a^2}{6}x^3=\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{a^nx^{n+1}}{\left(n+1\right)!}+\text{costante}. \end{equation*}

Determiniamo la costante sostituendo x=0 in (4), così ottenendo

    \[\text{costante}=\dfrac{1}{a},\]

e quindi

(5)   \begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{a^nx^n}{\left(n+1\right)!}=\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{e^{ax}}{a}-x-\dfrac{a}{2}x^2-\dfrac{a^2}{6}x^3-\dfrac{1}{a}\right); \end{equation*}

infine sostituendo a=5 in (5), si ottiene il risultato cercato, ovvero (1):

    \[\begin{aligned} \sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{\left(5x\right)^n}{\left(n+1\right)!}&=\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{e^{5x}}{5}-x-\dfrac{5}{2}x^2-\dfrac{25}{6}x^3-\dfrac{1}{5}\right)=-\dfrac{125x^3+75x^2+30x+6-6e^{5x}}{30x}, \end{aligned}\]

cioè

    \[\boxcolorato{analisi}{\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{\left(5x\right)^n}{\left(n+1\right)!}=-\dfrac{125x^3+75x^2+30x+6-6e^{5x}}{30x}.}\]