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Somma di una serie di potenze – Esercizio 8

Esercizi Serie di potenze

Home » Somma di una serie di potenze – Esercizio 8

Benvenuti nell’articolo 8 della raccolta Somma di una serie di potenze – Esercizi. Segnaliamo anche il precedente Somma di una serie di potenze – Esercizio 7 e il successivo Somma di una serie di potenze – Esercizio 9 per ulteriore materiale.

Buona lettura!

 

Testo somma di una serie di potenze 8

Esercizio 8.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{\left(5x\right)^n}{\left(n+1\right)!} \end{equation*}

per ogni x\in \mathbb{R}.

Svolgimento.

Si ricorda il seguente fatto

(2)   \begin{equation*} e^{ax}=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^n}{n!}x^n \end{equation*}

per ogni x\in\mathbb{R} e a>0. Riscriviamo (2) come segue

(3)   \begin{equation*} e^{ax}-1-ax-\dfrac{a^2x^2}{2}=\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{a^nx^n}{n!} \end{equation*}

da cui, integrando ambo i membri di (3), si ha

(4)   \begin{equation*} \dfrac{e^{ax}}{a}-x-\dfrac{ax^2}{2}-\dfrac{a^2}{6}x^3=\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{a^nx^{n+1}}{\left(n+1\right)!}+\text{costante}. \end{equation*}

Determiniamo la costante sostituendo x=0 in (4), così ottenendo

    \[\text{costante}=\dfrac{1}{a},\]

e quindi

(5)   \begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{a^nx^n}{\left(n+1\right)!}=\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{e^{ax}}{a}-x-\dfrac{a}{2}x^2-\dfrac{a^2}{6}x^3-\dfrac{1}{a}\right); \end{equation*}

infine sostituendo a=5 in (5), si ottiene il risultato cercato, ovvero (1):

    \[\begin{aligned} \sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{\left(5x\right)^n}{\left(n+1\right)!}&=\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{e^{5x}}{5}-x-\dfrac{5}{2}x^2-\dfrac{25}{6}x^3-\dfrac{1}{5}\right)=-\dfrac{125x^3+75x^2+30x+6-6e^{5x}}{30x}, \end{aligned}\]

cioè

    \[\boxcolorato{analisi}{\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{\left(5x\right)^n}{\left(n+1\right)!}=-\dfrac{125x^3+75x^2+30x+6-6e^{5x}}{30x}.}\]

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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