Esercizio 6 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 6.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-16)^n}{2n+1}. \end{equation*}

 

Svolgimento. Si ricorda che

(2)   \begin{equation*} \arctan x =\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{2n+1}x^{2n+1} \end{equation*}

per ogni x\in [-1,1]; assumendo d’ora in poi x\neq 0 è possibile dividere per x ambo i membri di (2) e ottenere

    \[\dfrac{\arctan x}{x}=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{2n+1}x^{2n}=1+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^n}{2n+1}x^{2n},\]

i.e.

(3)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n}=\dfrac{\arctan x}{x}-1. \end{equation*}

Sostituendo x=4 in (3) si trova

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-16)^n}{2n+1}=\dfrac{\arctan 4}{4}-1.}\]

 

Fonte: clicca qui .