Esercizio 5 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 5.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}\,x^n \end{equation*}

per ogni x\in(-1,1).

 

Svolgimento. Riscriviamo la serie come segue

    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}\,x^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)\left(n\right)\left(n-1\right)!}{\left(n-1\right)!}\,x^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(n^2+n\right)x^n.\]

Si consideri

(2)   \begin{equation*} \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\quad \end{equation*}

per ogni x\in (-1,1); supponendo x \neq 0 è possibile moltiplicare ambo i membri di (2) per x, cioè

(3)   \begin{equation*} \dfrac{x}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n+1}. \end{equation*}

Derivando ambo i membri della (3) si ottiene

(4)   \begin{equation*} \dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(n+1\right)x^{n}, \end{equation*}

e derivando nuovamente i membri della (4), si ottiene

    \[\dfrac{2}{\left(1-x\right)^3}=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(n^2+n\right)x^{n-1}=0+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(n^2+n\right)x^{n-1}=\dfrac{1}{x}\sum_{n=1}^{+\infty}\left(n^2+n\right)x^{n}\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\left(n^2+n\right)x^{n}=\dfrac{2x}{\left(1-x\right)^3}.\]

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}\,x^n=\dfrac{2x}{\left(1-x\right)^3}.}\]

Fonte: clicca qui.