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Somma di una serie di potenze – Esercizio 5

Esercizi Serie di potenze

Home » Somma di una serie di potenze – Esercizio 5

Benvenuti nell’articolo 5 della raccolta Somma di una serie di potenze – Esercizi. Segnaliamo anche il precedente Somma di una serie di potenze – Esercizio 4 e il successivo Somma di una serie di potenze – Esercizio 6 per ulteriore materiale.

Buona lettura!

 

Testo somma di una serie di potenze 5

Esercizio 5.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}\,x^n \end{equation*}

per ogni x\in(-1,1).

Svolgimento.

Riscriviamo la serie come segue

    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}\,x^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)\left(n\right)\left(n-1\right)!}{\left(n-1\right)!}\,x^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(n^2+n\right)x^n.\]

Si consideri

(2)   \begin{equation*} \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\quad \end{equation*}

per ogni x\in (-1,1); supponendo x \neq 0 è possibile moltiplicare ambo i membri di (2) per x, cioè

(3)   \begin{equation*} \dfrac{x}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n+1}. \end{equation*}

Derivando ambo i membri della (3) si ottiene

(4)   \begin{equation*} \dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(n+1\right)x^{n}, \end{equation*}

e derivando nuovamente i membri della (4), si ottiene

    \[\dfrac{2}{\left(1-x\right)^3}=\sum_{n=0}^{+\infty}\left(n^2+n\right)x^{n-1}=0+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(n^2+n\right)x^{n-1}=\dfrac{1}{x}\sum_{n=1}^{+\infty}\left(n^2+n\right)x^{n}\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\left(n^2+n\right)x^{n}=\dfrac{2x}{\left(1-x\right)^3}.\]

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}\,x^n=\dfrac{2x}{\left(1-x\right)^3}.}\]

 

Fonte.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
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  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
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