Svolgimento. Riscriviamo la serie come segue
(2)
per ogni ; supponendo
è possibile moltiplicare ambo i membri di (2) per
, cioè
(3)
Derivando ambo i membri della (3) si ottiene
(4)
e derivando nuovamente i membri della (4), si ottiene
Si conclude che
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}\,x^n=\dfrac{2x}{\left(1-x\right)^3}.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-897ae2088f8d4016865c6bb91a93e576_l3.png)
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