Esercizio 4 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 4.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n!}\right)x^n \end{equation*}

per ogni x\in\mathbb{R}.

 

Svolgimento.  Si osserva che

(2)   \begin{equation*} xe^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n!}x^n \end{equation*}

da cui, derivando ambo i membri di (2), si ottiene

    \[e^x+xe^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n!}+1\quad \Leftrightarrow\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n!}=e^x+xe^x-1.\]

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n!}\right)x^n=e^x+xe^x-1. }\]

 

Fonte: clicca qui.