Esercizio 3 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 3.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(ne^{\frac{1}{n}}-n\right)^{2n}. \end{equation*}

 

Svolgimento. La serie è a termini positivi quindi converge o diverge positivamente. Si osserva che

    \[\begin{aligned} &\lim_{n\to+\infty}\left(ne^{\frac{1}{n}}-n\right)^{2n}=\lim_{n\to+\infty}\left(n\left(1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\right)-n\right)^{2n}=\left(n+1+\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)-n\right)^{2n}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^{2n}=\lim_{n\to+\infty}\exp\left(2n\,\ln\left(1+\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\right)=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\exp\left(2n\left(\dfrac{1}{2n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\right)=e\neq 0. \end{aligned}\]

Pertanto la serie diverge positivamente, cioè

    \[\boxcolorato{analisi}{\sum_{n=1}^{+\infty}\left(ne^{\frac{1}{n}}-n\right)^{2n}=+\infty.}\]

 

Fonte: clicca qui .