Esercizio 2 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 2.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\left(\dfrac{n!+1}{\left(n+1\right)!}\right). \end{equation*}

 

Svolgimento.  Riscriviamo la serie come segue

    \[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\left(\dfrac{n!+1}{\left(n+1\right)!}\right)&=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\left(\dfrac{n!}{\left(n+1\right)!}\right)+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\left(\dfrac{1}{\left(n+1\right)!}\right)=\\ &=\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{\left(n+1\right)}}_{\mathcal{S}_1}+\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{\left(n+1\right)!}}_{\mathcal{S}_2}. \end{aligned}\]

Si ricorda il seguente fatto

(2)   \begin{equation*} -\ln\left(1-x\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n+1} \end{equation*}

per ogni x\in (-1,1], e

(3)   \begin{equation*} e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!} \end{equation*}

per ogni x\in \mathbb{R}.
Sostituendo x=-1 in (1) si ha

    \[\ln 2=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{n+1}=\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{n+1}}_{\mathcal{S}_1}+1\quad \Leftrightarrow\quad \mathcal{S}_1=\ln 2 -1.\]

Integriamo ambo i membri della (2) e otteniamo

    \[e^x=\int\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!}\,dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\int\dfrac{x^n}{n!}\,dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)!}+\text{costante};\]

ponendo x=0 si trova \text{costante}=1, quindi

    \[e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)!}+1=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)!}+x+1.\]

Pertanto, ponendo x=-1 nell’ultima relazione ottenuta, ricaviamo

    \[e^{-1}=-\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{\left(n+1\right)!}}_{\mathcal{S}_2}\quad \Leftrightarrow\quad \mathcal{S}_2=-e^{-1}.\]

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\left(\dfrac{n!+1}{\left(n+1\right)!}\right)=\ln 2 -1-e^{-1}. }\]

 

Fonte: clicca qui.