Svolgimento. Riscriviamo la serie come segue
(2)
(3)
Deriviamo due volte ambo i membri della (2) e otteniamo
(4)
assumendo , è possibile moltiplicare ambo i membri di (4) per
e ottenere
inoltre, deriviamo ambo i membri della (3), ottenendo
o anche
Infine, sfruttando le posizioni ottenute, si perviene al seguente risultato
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\boxcolorato{analisi}{\sum_{n=3}^{+\infty}\left(n\left(n-1\right)x^{n-1}+\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\right)=\dfrac{2x}{\left(1-x\right)^3}-2x+ \cos x-1+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^2}{4!} \quad \forall x \in (-1,1).}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1a42b86f3b2f9bf0df832c3984d17726_l3.png)