Esercizio 11 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 11.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\left(n\left(n-1\right)x^{n-1}+\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\right) \end{equation*}

per ogni x\in (-1,1).

 

 

Svolgimento. Riscriviamo la serie come segue

    \[\sum_{n=3}^{+\infty}\left(n\left(n-1\right)x^{n-1}+\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\right)= \sum_{n=3}^{+\infty}n\left(n-1\right)x^{n-1}+ \sum_{n=3}^{+\infty}\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}.\]

Si ricordano i seguenti fatti

(2)   \begin{equation*} \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\quad \forall x \in (-1,1) \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} \sin x =\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(-1 \right)^{n}x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\quad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Deriviamo due volte ambo i membri della (2) e otteniamo

    \[\begin{aligned} &\dfrac{d^2}{dx^2}\left(\dfrac{1}{\left(1-x\right)}\right)=\dfrac{d^2}{dx^2}\left( \sum_{n=0}^{+\infty}x^n \right)\quad \Rightarrow\quad \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}\right)=\dfrac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}n\,x^{n-1}\right)\Rightarrow \\ &\quad \Rightarrow\quad \dfrac{2}{\left(1-x\right)^3}=\sum_{n=0}^{+\infty}n\left(n-1\right)x^{n-2}=0+0+2+\sum_{n=3}^{+\infty}n\left(n-1\right)x^{n-2}=2+\sum_{n=3}^{+\infty}n\left(n-1\right)x^{n-2}, \end{aligned}\]

cioè

(4)   \begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}n\left(n-1\right)x^{n-2}=\dfrac{2}{\left(1-x\right)^3}-2, \end{equation*}

assumendo x\neq 0, è possibile moltiplicare ambo i membri di (4) per x e ottenere

    \[\sum_{n=3}^{+\infty}n\left(n-1\right)x^{n-1}=\dfrac{2x}{\left(1-x\right)^3}-2x;\]

inoltre, deriviamo ambo i membri della (3), ottenendo

    \[\cos x =\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n\left(2n+1\right)x^{2n}}{\left(2n+1\right)!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{\left(2n\right)!}=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^2}{4!}+\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{\left(2n\right)!},\]

o anche

    \[\sum_{n=3}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{\left(2n\right)!}= \cos x-1+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^2}{4!}.\]

Infine, sfruttando le posizioni ottenute, si perviene al seguente risultato

      \[\boxcolorato{analisi}{\sum_{n=3}^{+\infty}\left(n\left(n-1\right)x^{n-1}+\left(-1\right)^n\dfrac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\right)=\dfrac{2x}{\left(1-x\right)^3}-2x+ \cos x-1+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^2}{4!} \quad \forall x \in (-1,1).}\]