Esercizio 12 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 12.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2+2}{n!}. \end{equation*}

 

Svolgimento. Riscriviamo (1) come segue

(2)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2+2}{n!}=\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2}{n!}}_{\mathcal{S}_1}+2\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n!}}_{\mathcal{S}_2}. \end{equation*}

Si ricorda che

(3)   \begin{equation*} e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!}=1+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n!} \end{equation*}

per ogni x\in \mathbb{R}. Sostituendo x=1 in (3) si ottiene \mathcal{S}_2, cioè \mathcal{S}_2=e-1.
Derivando ambo i membri di (3) si ottiene

(4)   \begin{equation*} e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{n-1}}{n!}=0+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{n-1}}{n!}, \end{equation*}

e derivando ambo i membri di (4) si giunge al seguente risultato

(5)   \begin{equation*} e^x=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\left(n-1\right)x^{n-2}}{n!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2x^{n-2}}{n!}-\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{n-2}}{n!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2\,x^{n-2}}{n!}-\dfrac{1}{x}\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{n-1}}{n!}}_{=e^x }=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2\,x^{n-2}}{n!}-\dfrac{e^x}{x} \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato (4); ponendo x=1 in (5) si giunge alla seguente relazione

(6)   \begin{equation*} e=\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2}{n!}}_{\mathcal{S}_1}-e=\mathcal{S}_1-e\quad \Leftrightarrow\quad \mathcal{S}_1=2e. \end{equation*}

Sostituendo \mathcal{S}_1 e \mathcal{S}_2 in (2) si ottiene

    \[\boxcolorato{analisi}{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n^2+2}{n!}=2e+2e-2=4e-2.}\]

Fonte: clicca qui.