Somma di una serie di potenze – Esercizio 13

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Benvenuti nell’articolo 13 della raccolta Somma di una serie di potenze – Esercizi. Segnaliamo anche il precedente Somma di una serie di potenze – Esercizio 12 e il successivo Somma di una serie di potenze – Esercizio 14 per ulteriore materiale.

Buona lettura!

Testo somma di una serie di potenze 13

Esercizio 13. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare la somma della seguente serie

(1) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^nx^{2n}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)} \end{equation*}$

per ogni $x\in [-1,1]$ .

Svolgimento.

Si osserva preliminarmente che (1) converge a zero per $x=0$

. Si ricorda il seguente fatto

(2) $\begin{equation*} \arctan x=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^nx^{2n+1}}{\left(2n+1\right)} \end{equation*}$

per ogni $x\in [-1,1]$ ; integrando ambo i membri di (2) si ottiene

(3) $\begin{equation*} x\arctan x -\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)+\text{costante}=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+2}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}, \end{equation*}$

da cui sostituendo $x=0$ in (3) si trova $\text{costante}=0$ , e quindi

$x\arctan x -\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+2}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}=\dfrac{x^2}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+2}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)},$

cioè

(4) $\begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+2}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}=x\arctan x -\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)-\dfrac{x^2}{2}. \end{equation*}$

Infine assumendo $x\neq 0$ è possibile dividere ambo i membri di (4) per $x^2$ e ottenere

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2n}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}=\dfrac{1}{x^2}\left(x\arctan x -\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)-\dfrac{x^2}{2}\right).$

Si conclude che

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