Esercizio 13 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 13.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^nx^{2n}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)} \end{equation*}

per ogni x\in [-1,1].

 

Svolgimento.  Si osserva preliminarmente che (1) converge a zero per x=0.
Si ricorda il seguente fatto

(2)   \begin{equation*} \arctan x=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(-1\right)^nx^{2n+1}}{\left(2n+1\right)} \end{equation*}

per ogni x\in [-1,1]; integrando ambo i membri di (2) si ottiene

(3)   \begin{equation*} x\arctan x -\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)+\text{costante}=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+2}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}, \end{equation*}

da cui sostituendo x=0 in (3) si trova \text{costante}=0, e quindi

    \[x\arctan x -\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+2}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}=\dfrac{x^2}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+2}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)},\]

cioè

(4)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+2}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}=x\arctan x -\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)-\dfrac{x^2}{2}. \end{equation*}

Infine assumendo x\neq 0 è possibile dividere ambo i membri di (4) per x^2 e ottenere

    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2n}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}=\dfrac{1}{x^2}\left(x\arctan x -\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)-\dfrac{x^2}{2}\right).\]

Si conclude che

      \[\boxcolorato{analisi}{	\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2n}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}=\begin{cases} \dfrac{1}{x^2}\left(x\arctan x -\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)-\dfrac{x^2}{2}\right)\quad &\text{per}\,\, x\in [-1,0)\cup (0,1];\\ 0&\text{per}\,\, x=0. 				\end{cases}}\]