Svolgimento. Si osserva preliminarmente che (1) converge a zero per .
Si ricorda il seguente fatto
(2)
per ogni ; integrando ambo i membri di (2) si ottiene
(3)
da cui sostituendo in (3) si trova
, e quindi
(4)
Infine assumendo è possibile dividere ambo i membri di (4) per
e ottenere
Si conclude che
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2n}}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}=\begin{cases} \dfrac{1}{x^2}\left(x\arctan x -\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)-\dfrac{x^2}{2}\right)\quad &\text{per}\,\, x\in [-1,0)\cup (0,1];\\ 0&\text{per}\,\, x=0. \end{cases}}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c7c260fc29b5ea33f1dec9cba0f2698_l3.png)