Esercizio 14 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 14.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}\right) \end{equation*}

per ogni x\in [-1,1].

 

 

Svolgimento. Riscriviamo (1) come segue

(2)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}\right)=\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}}_{\mathcal{S}_1}+\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}}_{\mathcal{S}_2}. \end{equation*}

Si ricordi il seguente fatto

(3)   \begin{equation*} -\ln\left(1-x\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n} \end{equation*}

per ogni x\in [-1,1); integrando ambo i membri della (3), si ha

(4)   \begin{equation*} x-\left(x-1\right)\ln\left(1-x\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}+c \end{equation*}

da cui, sostituendo x=0 in (4) si ottiene c=0, quindi

(5)   \begin{equation*} x-\left(x-1\right)\ln\left(1-x\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\mathcal{S}_2. \end{equation*}

Ora si ricordi il seguente fatto

(6)   \begin{equation*} \arctan x =\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}=x+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1} \end{equation*}

per ogni x\in [-1,1]; da cui, sfruttando la precedente relazione, si deduce che

(7)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}=\mathcal{S}_1=\arctan x-x. \end{equation*}

Si conclude che

    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}\right)=x-\left(x-1\right)\ln\left(1-x\right)+\arctan x-x=\arctan x -\left(x-1\right)\ln\left(1-x\right),\]

i.e.

      \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+\dfrac{x^{n+1}}{n\left(n+1\right)}\right)=\arctan x -\left(x-1\right)\ln\left(1-x\right)\quad \forall x \in [-1,1].}\]