Esercizio 15 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 15.   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{\left(n-1\right)!} \end{equation*}

per ogni x\in \mathbb{R}.

 

 

Svolgimento. Si ricorda il seguente fatto

(2)   \begin{equation*} e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2}+\sum_{n=4}^{+\infty}\dfrac{x^{n}}{n!} \end{equation*}

per ogni x\in\mathbb{R}; da cui, derivando ambo i membri della (2), si ottiene

(3)   \begin{equation*} e^x=1+x+\dfrac{x^2}{3}+\sum_{n=4}^{+\infty}\dfrac{n\,x^{n-1}}{n!}=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2}+\sum_{n=4}^{+\infty}\dfrac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}, \end{equation*}

cioè

(4)   \begin{equation*} \sum_{n=4}^{+\infty}\dfrac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}=e^x-1-x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2}. \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{  \sum_{n=4}^{+\infty}\dfrac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}=e^x-1-x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{2}.\quad \forall x \in \mathbb{R}.}\]