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Somma di una serie di potenze – Esercizio 16

Esercizi Serie di potenze

Home » Somma di una serie di potenze – Esercizio 16

Benvenuti nell’articolo 16 della raccolta Somma di una serie di potenze – Esercizi. Segnaliamo anche il precedente Somma di una serie di potenze – Esercizio 15 e il successivo Somma di una serie di potenze – Esercizio 17 per ulteriore materiale.

Buona lettura!

 

Testo somma di una serie di potenze 16

Esercizio 16.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\left(nx^{n-1}+2\left(-1\right)^nn\,x^{2n-1}\right) \end{equation*}

per ogni x\in (-1,1).

Svolgimento.

Riscriviamo la serie come segue

    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\left(n\,x^{n-1}+2\left(-1\right)^nn\,x^{2n-1}\right)= \sum_{n=1}^{+\infty}n\,x^{n-1}+ \sum_{n=1}^{+\infty}2\left(-1\right)^nn\,x^{2n-1}.\]

Si ricordano i seguenti fatti

(2)   \begin{equation*} \dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^{2n}=1-x^2+x^4+\sum_{n=3}^{+\infty}(-1)^nx^{2n}\quad \forall x\in(-1,1) \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}\quad \forall x\in(-1,1). \end{equation*}

Derivando ambo i membri della (2), si ottiene

(4)   \begin{equation*} \dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}=-2x+4x^3+\sum_{n=3}^{+\infty}2(-1)^n n\,x^{2n-1} , \end{equation*}

cioè

(5)   \begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}2(-1)^n n\,x^{2n-1} =\dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}+2x-4x^3; \end{equation*}

inoltre, nuovamente, derivando ambo i membri di (3), si ha

(6)   \begin{equation*} \dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}n\,x^{n-1}=0+1+2x+\sum_{n=3}^{+\infty}n\,x^{n-1}=1+2x+\sum_{n=3}^{+\infty}n\,x^{n-1}, \end{equation*}

da cui

    \[\sum_{n=3}^{+\infty}n\,x^{n-1}=\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}-1-2x.\]

Sfruttando le posizione ottenute si conclude che

    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\left(n\,x^{n-1}+2\left(-1\right)^nn\,x^{2n-1}\right)=\dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}+2x-4x^3+\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}-1-2x,\]

i.e.

      \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\left(n\,x^{n-1}+2\left(-1\right)^nn\,x^{2n-1}\right)=\dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}-1-4x^3\quad \forall x \in (-1,1). }\]

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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