Svolgimento. Riscriviamo la serie come segue
(2)
(3)
Derivando ambo i membri della (2), si ottiene
(4)
cioè
(5)
inoltre, nuovamente, derivando ambo i membri di (3), si ha
(6)
da cui
Sfruttando le posizione ottenute si conclude che
i.e.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\left(n\,x^{n-1}+2\left(-1\right)^nn\,x^{2n-1}\right)=\dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}-1-4x^3\quad \forall x \in (-1,1). }\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7eb851ce0cd55e85b36f392cb07f7c9b_l3.png)