Esercizio 16 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 16.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}\left(nx^{n-1}+2\left(-1\right)^nn\,x^{2n-1}\right) \end{equation*}

per ogni x\in (-1,1).

 

 

Svolgimento. Riscriviamo la serie come segue

    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\left(n\,x^{n-1}+2\left(-1\right)^nn\,x^{2n-1}\right)= \sum_{n=1}^{+\infty}n\,x^{n-1}+ \sum_{n=1}^{+\infty}2\left(-1\right)^nn\,x^{2n-1}.\]

Si ricordano i seguenti fatti

(2)   \begin{equation*} \dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nx^{2n}=1-x^2+x^4+\sum_{n=3}^{+\infty}(-1)^nx^{2n}\quad \forall x\in(-1,1) \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^{n}\quad \forall x\in(-1,1). \end{equation*}

Derivando ambo i membri della (2), si ottiene

(4)   \begin{equation*} \dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}=-2x+4x^3+\sum_{n=3}^{+\infty}2(-1)^n n\,x^{2n-1} , \end{equation*}

cioè

(5)   \begin{equation*} \sum_{n=3}^{+\infty}2(-1)^n n\,x^{2n-1} =\dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}+2x-4x^3; \end{equation*}

inoltre, nuovamente, derivando ambo i membri di (3), si ha

(6)   \begin{equation*} \dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}n\,x^{n-1}=0+1+2x+\sum_{n=3}^{+\infty}n\,x^{n-1}=1+2x+\sum_{n=3}^{+\infty}n\,x^{n-1}, \end{equation*}

da cui

    \[\sum_{n=3}^{+\infty}n\,x^{n-1}=\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}-1-2x.\]

Sfruttando le posizione ottenute si conclude che

    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\left(n\,x^{n-1}+2\left(-1\right)^nn\,x^{2n-1}\right)=\dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}+2x-4x^3+\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}-1-2x,\]

i.e.

      \[\boxcolorato{analisi}{ \sum_{n=1}^{+\infty}\left(n\,x^{n-1}+2\left(-1\right)^nn\,x^{2n-1}\right)=\dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1-x\right)^2}-1-4x^3\quad \forall x \in (-1,1). }\]