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Somma di una serie di potenze – Esercizio 17

Esercizi Serie di potenze

Home » Somma di una serie di potenze – Esercizio 17

Benvenuti nell’articolo 17 della raccolta Somma di una serie di potenze – Esercizi. Segnaliamo anche il precedente Somma di una serie di potenze – Esercizio 16 per ulteriore materiale.

Buona lettura!

 

Testo somma di una serie di potenze 17

Esercizio 17.  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n-1\right)!!}{\left(2n+1\right)\left(2n\right)!!} \end{equation*}

per ogni x \in (1,2).

Svolgimento.

Si osserva che

(2)   \begin{equation*} \left(2n-1\right)!!=\dfrac{\left(2n-1\right)!}{\left(n-1\right)!2^{n-1}} \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} \left(2n\right)!!=2^n\,n!, \end{equation*}

da cui, applicando (2) e (3), si ha

    \[\begin{aligned} \dfrac{\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}&=\dfrac{\left(2n-1\right)!}{\left(n-1\right)!2^{n-1}}\cdot \dfrac{1}{2^n\,n!}=\dfrac{2\left(2n-1\right)!}{2^n\left(2^n\,n!\right)\left(n-1\right)!}=\dfrac{2n\left(2n-1\right)!}{2^n\left(2^n\,n!\right)\left(n-1\right)!\,n}=\dfrac{2n\left(2n-1\right)!}{2^n\left(2^n\,n!\right)\left(n\right)!}=\dfrac{\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^2}, \end{aligned}\]

donde, è possibile riscrivere (1) come segue

    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n-1\right)!!}{\left(2n+1\right)\left(2n\right)!!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}}{\left(2n+1\right)}\cdot\dfrac{\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^2}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n\right)!}{4^{n}\left(2n+1\right)\left(n!\right)^2} .\]

Si ricorda il seguente fatto

(4)   \begin{equation*} \arcsin t = \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(2n\right)!}{4^n\left(n!\right)^2\left(2n+1\right)}t^{2n+1}=t+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2n\right)!}{4^n\left(n!\right)^2\left(2n+1\right)}t^{2n+1} \end{equation*}

per ogni t\in (-1,1); sostituendo t=2x-3 in (4), si ottiene

(5)   \begin{equation*} \arcsin \left(2x-3\right)=2x-3+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n\right)!}{4^n\left(n!\right)^2\left(2n+1\right)}\quad \Leftrightarrow\quad\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n\right)!}{4^n\left(n!\right)^2\left(2n+1\right)}=\arcsin \left(2x-3\right)-2x+3 , \end{equation*}

che è proprio (1). Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n-1\right)!!}{\left(2n+1\right)\left(2n\right)!!}=\arcsin \left(2x-3\right)-2x+3. }\]

 

Fonte: “Esercitazioni di analisi matematica” di Renato Fiorenza

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.






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