Esercizio 17 somma di una serie (serie di potenze)

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Esercizio 17.   (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Calcolare la somma della seguente serie

(1)   \begin{equation*} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n-1\right)!!}{\left(2n+1\right)\left(2n\right)!!} \end{equation*}

per ogni x \in (1,2).

 

Svolgimento.  Si osserva che

(2)   \begin{equation*} \left(2n-1\right)!!=\dfrac{\left(2n-1\right)!}{\left(n-1\right)!2^{n-1}} \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} \left(2n\right)!!=2^n\,n!, \end{equation*}

da cui, applicando (2) e (3), si ha

    \[\begin{aligned} \dfrac{\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}&=\dfrac{\left(2n-1\right)!}{\left(n-1\right)!2^{n-1}}\cdot \dfrac{1}{2^n\,n!}=\dfrac{2\left(2n-1\right)!}{2^n\left(2^n\,n!\right)\left(n-1\right)!}=\dfrac{2n\left(2n-1\right)!}{2^n\left(2^n\,n!\right)\left(n-1\right)!\,n}=\dfrac{2n\left(2n-1\right)!}{2^n\left(2^n\,n!\right)\left(n\right)!}=\dfrac{\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^2}, \end{aligned}\]

donde, è possibile riscrivere (1) come segue

    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n-1\right)!!}{\left(2n+1\right)\left(2n\right)!!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}}{\left(2n+1\right)}\cdot\dfrac{\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^2}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n\right)!}{4^{n}\left(2n+1\right)\left(n!\right)^2} .\]

Si ricorda il seguente fatto

(4)   \begin{equation*} \arcsin t = \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{\left(2n\right)!}{4^n\left(n!\right)^2\left(2n+1\right)}t^{2n+1}=t+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2n\right)!}{4^n\left(n!\right)^2\left(2n+1\right)}t^{2n+1} \end{equation*}

per ogni t\in (-1,1); sostituendo t=2x-3 in (4), si ottiene

(5)   \begin{equation*} \arcsin \left(2x-3\right)=2x-3+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n\right)!}{4^n\left(n!\right)^2\left(2n+1\right)}\quad \Leftrightarrow\quad\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n\right)!}{4^n\left(n!\right)^2\left(2n+1\right)}=\arcsin \left(2x-3\right)-2x+3 , \end{equation*}

che è proprio (1).
Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(2x-3\right)^{2n+1}\left(2n-1\right)!!}{\left(2n+1\right)\left(2n\right)!!}=\arcsin \left(2x-3\right)-2x+3. }\]

 

Fonte Esercitazioni di analisi matemamatica di Renato Fiorenza