Esercizio 6 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 6   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

    \[\lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4 + y^3}{x^2 + y^2}.\]

 

Svolgimento.  Sia f: R^2 \setminus\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^4 + y^3}{x^2 + y^2}.
Passando in coordinate polari la funzione f diventa

    \[f(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta)=\tilde{f}(\rho,\theta)= \dfrac{\rho^4 \cos^4(\theta) + \rho^ 3 \sin^3(\theta)}{\rho^2} .\]

Osserviamo che

    \[\left\lvert \tilde{f}(\rho,\theta) \right \lvert = \bigg \lvert \frac{\rho^2 (\rho^2 \cos^4(\theta) + \rho\sin^3(\theta))}{\rho^2} \bigg \lvert = |\rho^2 \cos^4(\theta) + \rho \sin^3(\theta)|.\]

Per la disuguaglianza triangolare, e dato che |\sin(\theta)| \le 1 e |\cos(\theta)| \le 1, abbiamo:

    \[|(\rho^2 \cos^4(\theta) + \rho \sin^3(\theta))| \leq |\rho^2 \cos^4(\theta) | + |\rho \sin^3(\theta)| \leq \rho^2 + \rho ,\]

dove

    \[\lim_{\rho \rightarrow 0^+}(\rho^2 + \rho)=0.\]

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y) \to (0, 0)}\; \frac{x^4 y^3}{x^2 + y^2} = 0 .}\]

 

Fonte: clicca qui.