Esercizio 5 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 5  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^8 y}{x^6 + y^6}. \end{equation*}

 

Svolgimento.  Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^8 y}{x^6 + y^6}.
Provando le restrizioni y=0, x=0 o la generica retta y=mx, il limite converge 0.
Ci viene il sospetto che effettivamente (1) converga a zero.
Siccome y^6 \geq 0, osserviamo che

    \[x^6 + y^6 \geq x^6,\]

  e dato che x^6 + y^6 si trova al denominatore otteniamo

    \[0 \leq \left \vert \frac{x^8 y}{x^6 + y^6} \right \vert \leq \left \vert \frac{x^8 y}{x^6} \right \vert = \left \vert x^2 y \right \vert ,\]

dove

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}|x^2 y| =0.\]

Quindi per il teorema dei carabinieri

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \left\vert \frac{x^8 y}{x^6 + y^6}\right \rvert=0\]

e concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^8 y}{x^6 + y^6}=0.}\]

 

Fonte: clicca qui.