Esercizio 4 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 4  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

    \[\lim_{(x,y)\to (0,0)} \; \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}.\]

 

Svolgimento. Sia f:R^2\setminus\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}. Cerchiamo due restrizioni del dominio lungo le quali otteniamo due limiti diversi. La prima restrizione è la retta x = 0. Sostituendo x=0 la funzione f diventa costante: f(0,y) = \dfrac{0}{y^2} = 0 e quindi il limite è chiaramente 0. Similmente anche la restrizione y = 0 restituisce lo stesso risultato. In generale, al variare di m, restringendo f su una retta della forma y = mx, la funzione diventa:

    \[f(x,mx)= \frac{x^2 (mx)}{x^4 + (mx)^2} = \frac{mx^3 }{x^4 + m^2x^2} = \frac{mx^3}{x^2(x^2 + m^2)} = \frac{mx}{(x^2 + m^2)},\]

che ancora tende a 0 per x \to 0 qualunque sia il valore di m. Proviamo la restrizione y = x^2; sostituendo in f, si ha

    \[f(x,x^2)=\frac{x^2 x^2}{x^4 + x^4} = \frac{x^4 }{2 x^4} = \frac{1}{2} ,\]

che è una funzione costante e quindi il limite tende a \dfrac{1}{2} \neq 0. Questo dimostra che il limite non esiste.

 

Fonte: clicca qui.