Esercizio 4 
. Calcolare, se esiste, il seguente limite:
![\[\lim_{(x,y)\to (0,0)} \; \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-456d05859806fca0b612e34f491dde3f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento. Sia 
tale che 
Cerchiamo due restrizioni del dominio lungo le quali otteniamo due limiti diversi. La prima restrizione è la retta 
. Sostituendo 
la funzione 
diventa costante: 
e quindi il limite è chiaramente 
. Similmente anche la restrizione 
restituisce lo stesso risultato. In generale, al variare di 
, restringendo su una retta della forma 
, la funzione diventa:
![\[f(x,mx)= \frac{x^2 (mx)}{x^4 + (mx)^2} = \frac{mx^3 }{x^4 + m^2x^2} = \frac{mx^3}{x^2(x^2 + m^2)} = \frac{mx}{(x^2 + m^2)},\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1a3e271fe379cecee5271d192fad444b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che ancora tende a 0 per 
qualunque sia il valore di . Proviamo la restrizione 
; sostituendo in , si ha
![\[f(x,x^2)=\frac{x^2 x^2}{x^4 + x^4} = \frac{x^4 }{2 x^4} = \frac{1}{2} ,\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c619c2282fbf341ed80611c24164c700_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che è una funzione costante e quindi il limite tende a 
. Questo dimostra che il limite non esiste.
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