Esercizio 3 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 3   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\dfrac{x^3y}{x^4+y^2}. \end{equation*}

 

Svolgimento. Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^3y}{x^4+y^2}.
Innanzitutto proviamo una semplice restrizione, ad esempio x = 0, ottenendo

    \[f(0,y)= \dfrac{0}{y^2} = 0.\]

Chiaramente, in questo caso, (1) converge a zero.
Ponendo invece y = 0 abbiamo

    \[f(x,0)=\dfrac{0}{x^4} = 0\]

e anche in questo caso (1) converge a zero.
Ci viene il sospetto che il limite sia effettivamente zero; proviamo a dimostrarlo osservando che, per ogni x, y \in \mathrm{R},

    \[(x^2-\left \vert y \right \vert)^2=x^4+y^2-2x^2\left \vert y \right \vert\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 + y^2 \geq 2 |x^2 y|.\]

Dato che x^4 + y^2 si trova al denominatore di f, possiamo scrivere

    \[\left \vert \frac{x^3 y}{x^4 + y^2} \right \vert \leq \left \vert \frac{x^3 y}{2 x^2 y} \right \vert = \left \vert \frac{x}{2} \right\vert ,\]

dove

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\left \vert \dfrac{x}{2}\right \vert= 0,\]

ovvero l’ultimo termine tende a zero se (x,y) tende a (0,0).
Utilizzando il teorema dei carabinieri (o teorema del confronto), abbiamo dimostrato che

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \left \vert \frac{x^3 y}{x^4 + y^2} \right \vert= 0 .\]

Dunque concludiamo che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac{x^3y}{x^4+y^2}=0.}\]

 

Fonte: clicca qui.