Esercizio 2 limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Esercizio 2   (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(1)   \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \; \dfrac{x^2 y^2}{x^4 + y^2}. \end{equation*}

 

Svolgimento 1. Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^2 y^2}{x^4 + y^2}. Proviamo delle semplici restrizioni. Possiamo porre x = 0 ottenendo

    \[f(0,y)= \frac{0}{y^2} = 0 .\]

Osserviamo che lungo questa retta (1) converge a zero. Ponendo invece y = 0 otteniamo

    \[f(x,0) = \frac{0}{x^4} = 0\]

e anche in questo caso (1) converge a 0. Iniziamo dunque a sospettare che il limite sia effettivamente 0. Per dimostrare ciò osserviamo che per ogni x, y \in \mathbb{R} vale

    \[(x^2-\left \vert y \right \vert)^2=x^4+y^2-2x^2\left \vert y \right \vert\geq 0,\]

da cui

    \[x^4 + y^2 \geq 2 |x^2 y|.\]

Dato che x^4 + y^2 si trova al denominatore abbiamo:

    \[0 \leq \bigg \lvert \frac{x^2 y^2}{x^4 + y^2} \bigg \lvert \leq \bigg\lvert \frac{x^2 y^2}{2 x^2 y} \bigg\lvert = \bigg\lvert \frac{ y}{2} \bigg\lvert,\]

dove

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\dfrac{\left \vert y \right \vert }{2}=0.\]

Si conclude che

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \; \dfrac{x^2 y^2}{x^4 + y^2}=0.}\]

 

Svolgimento 2.  Osserviamo che

    \[x^4+y^2\geq y^2\]

in quanto x^4\geq 0, quindi

    \[\frac{x^2 y^2}{x^4 + y^2} \leq \frac{x^2 y^2}{y^2} = x^2,\]

dove

    \[\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}x^2=0.\]

Poiché il valore assoluto di f tende a zero, possiamo concludere che anche la funzione senza il valore assoluto tende a zero, cioè

    \[\boxcolorato{analisi}{ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \; \dfrac{x^2 y^2}{x^4 + y^2}=0.}\]

 

Fonte: clicca qui.